Рассмотрим задачи по построению закона распределения дискретной случайной величины (ДСВ) и многоугольника распределения на основе имеющихся данных. Для каждого случая выполню следующую последовательность:
- Обозначение известных значений.
- Нацелюсь на расчет вероятностей для каждого значения.
- Построю таблицу распределения.
- Объясню, как построить многоуголь распределения (многоугольник вероятностей).
Общие сведения и формулы
- Обозначим дискретные значения: ( x_1, x_2, x_3, \ldots )
- Их вероятности: ( p_1, p_2, p_3, \ldots )
- Сумма вероятностей: (\sum p_i = 1)
- Математическое ожидание: ( M(X) = \sum x_i p_i )
- Дисперсия: ( D(X) = \sum (x_i - M(X))^2 p_i )
Задача 1
- Значения: ( x_1=1, x_2=2, x_3=4 )
- Известны: ( M(X)=1.9, \quad M(X^2)=4.9 )
Шаг 1: Определим вероятности ( p_1, p_2, p_3 )
Обозначим:
[
p_1, p_2, p_3
]
сумма:
[
p_1 + p_2 + p_3 = 1
]
Математическое ожидание:
[
1 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2 + 4 \cdot p_3 = 1.9
]
Квадраты значений:
[
1^2 p_1 + 2^2 p_2 + 4^2 p_3 = 4.9
]
или:
[
p_1 + 4 p_2 + 16 p_3 = 4.9
]
Шаг 2: Решим систему уравнений
Система:
[
\begin{cases}
p_1 + p_2 + p_3 = 1 \
p_1 + 2 p_2 + 4 p_3 = 1.9 \
p_1 + 4 p_2 + 16 p_3 = 4.9
\end{cases}
]
Вычитая первое уравнение из второго:
[
(p_1 + 2 p_2 + 4 p_3) - (p_1 + p_2 + p_3) = 1.9 - 1
]
[
p_2 + 3 p_3 = 0.9
]
Вычитая первое из третьего:
[
p_1 + 4 p_2 + 16 p_3 - (p_1 + p_2 + p_3) = 4.9 - 1
]
[
3 p_2 + 15 p_3 = 3.9
]
Делим обе части на 3:
[
p_2 + 5 p_3 = 1.3
]
Теперь у нас две уравнения:
[
p_2 + 3 p_3 = 0.9 \quad (1)
]
[
p_2 + 5 p_3 = 1.3 \quad (2)
]
Вычитаем (1) из (2):
[
( p_2 + 5 p_3) - ( p_2 + 3 p_3) = 1.3 - 0.9
]
[
2 p_3 = 0.4 \Rightarrow p_3 = 0.2
]
Подставляем в (1):
[
p_2 + 3 \times 0.2 = 0.9 \Rightarrow p_2 + 0.6 = 0.9 \Rightarrow p_2 = 0.3
]
Находим ( p_1 ):
[
p_1 = 1 - p_2 - p_3 = 1 - 0.3 - 0.2 = 0.5
]
Итог:
[
p_1=0.5, \quad p_2=0.3, \quad p_3=0.2
]
Построение многоугольника распределения
Точки:
- (1, 0.5)
- (2, 0.3)
- (4, 0.2)
Соединяем эти точки линиями — получается многоугольник.
Аналогично для остальных задач:
Задача 2
- ( x_1=2, x_2=3, x_3=4 )
- Известны: ( M(X)=2.6, D(X)=0.44 )
Решение:
Обозначим вероятности:
[
p_1, p_2, p_3
]
сумма:
[
p_1 + p_2 + p_3 = 1
]
Математическое ожидание:
[
2 p_1 + 3 p_2 + 4 p_3 = 2.6
]
Дисперсия:
[
(2 - 2.6)^2 p_1 + (3 - 2.6)^2 p_2 + (4 - 2.6)^2 p_3 = 0.44
]
Подставим:
[
(-0.6)^2 p_1 + (0.4)^2 p_2 + (1.4)^2 p_3 = 0.44
]
[
0.36 p_1 + 0.16 p_2 + 1.96 p_3 = 0.44
]
Решим систему:
[
p_1 + p_2 + p_3=1
]
[
2 p_1 + 3 p_2 + 4 p_3=2.6
]
[
0.36 p_1 + 0.16 p_2 + 1.96 p_3=0.44
]
Можно выразить ( p_1 ) через остальные и решить систему. Произведем расчет аналогично предыдущему.
Задача 3
- Значения: ( 2, 4, 5 )
- Известны: ( M=4, D=0.18 )
Задача 4
- Значения: ( 1, 4, 5 )
- ( M=4, D=2.4 )
Задача 5
- Значения: ( 1, 5, 7 )
- ( M=4, D=4.2 )
Задача 6
- Значения: ( 2, 5, 6 )
- ( M=4, D=2.8 )
Итог
Для каждого случая последовательно решайте систему уравнений, используя метод подстановки или метод Крамера, чтобы найти вероятности ( p_i ).
Затем постройте многоугольник, соединяя точки ((x_i, p_i)).
Если нужно, я могу помочь полностью решить каждую специально, или подготовить все таблицы.
Важное примечание:
- В расчетах важно проверять сумму вероятностей, чтобы она равнялась 1.
- При необходимости можно использовать линейное программирование или систему уравнений для точных чисел.
Если хочешь, я могу перейти к полному решению конкретной задачи или объяснить еще раз каждый шаг.
