Реши
Давайте разберём решение первого задания подробно.
Задача:
В треугольнике \( ABC \) даны: \( AC = BC = 12 \), высота \( AH = 9 \). Нужно найти \( \sin \angle ACB \).
Шаг 1: Анализ задачи и построение
- Треугольник \( ABC \) равнобедренный, поскольку \( AC = BC = 12 \).
- Высота \( AH \) опущена из вершины \( A \) на сторону \( BC \).
- Высота \( AH = 9 \).
Нам нужно найти \(\sin \angle ACB\). Эта дуга связана с треугольником, где \( C \) — вершина, а \( AB \) — основание.
Шаг 2: Использование свойств равнобедренного треугольника
- Так как \( AC = BC \), высота, проведённая из вершины \( A \), делит сторону \( BC \) пополам.
- Обозначим \( H \) как основание высоты из вершины \( A \).
Обозначим:
- \( BH = HC = x \).
- Тогда \( BC = 2x \).
Но из условия дано, что \( AC = BC = 12 \), следовательно,
\[
BC = 12 = 2x \Rightarrow x = 6.
\]
То есть, \( BH = HC = 6 \).
Шаг 3: Построение треугольников и использование тригонометрии
Рассмотрим треугольник \( ABH \):
- \( AH \) — высота: \( AH = 9 \).
- \( BH = 6 \), как мы нашли.
Используя прямоугольный треугольник \( ABH \), найдём \( AB \):
\[ AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}. \]
Шаг 4: Находим \(\sin \angle ACB\)
Обратим внимание, что:
- \( \angle ACB \) — это угол у вершины \( C \).
В треугольнике \( ABC \):
- \( BC = 12 \),
- \( AC = 12 \),
- \( AB = 3\sqrt{13} \).
Рассмотрим треугольник \( ABC \):
Уже известны длины сторон, и треугольник равнобедренный.
Шаг 5: Использование формулы для синуса угла
Наиболее удобный способ — использовать формулу для синуса угла через стороны:
\[ \sin \angle ACB = \frac{2 \times \text{площадь } \triangle ABC}{AC \times BC}. \]
Нам нужно найти площадь треугольника \( ABC \).
Шаг 6: Нахождение площади треугольника
- Высота \( AH \) опущена из вершины \( A \) на сторону \( BC \).
- Мы можем найти площадь по формуле:
\[ \text{Площадь } \triangle ABC = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 = 54. \]
Шаг 7: Подставляем в формулу для \(\sin \angle ACB\)
\[ \sin \angle ACB = \frac{2 \times 54}{AC \times BC} = \frac{108}{12 \times 12} = \frac{108}{144} = \frac{3}{4} = 0.75. \]
Ответ:
\[ \boxed{\sin \angle ACB = \frac{3}{4}} \]
Если потребуется, можно оставить в виде десятичного значения — 0,75.
