Реши

Давайте разберём решение первого задания подробно. Задача: В треугольнике \( ABC \) даны: \( AC = BC = 12 \), высота \( AH = 9 \). Нужно найти \( \sin \angle ACB \). --- ### Шаг 1: Анализ задачи и построение - Треугольник \( ABC \) равнобедренный, поскольку \( AC = BC = 12 \). - Высота \( AH \) опущена из вершины \( A \) на сторону \( BC \). - Высота \( AH = 9 \). Нам нужно найти \(\sin \angle ACB\). Эта дуга связана с треугольником, где \( C \) — вершина, а \( AB \) — основание. --- ### Шаг 2: Использование свойств равнобедренного треугольника - Так как \( AC = BC \), высота, проведённая из вершины \( A \), делит сторону \( BC \) пополам. - Обозначим \( H \) как основание высоты из вершины \( A \). Обозначим: - \( BH = HC = x \). - Тогда \( BC = 2x \). Но из условия дано, что \( AC = BC = 12 \), следовательно, \[ BC = 12 = 2x \Rightarrow x = 6. \] То есть, \( BH = HC = 6 \). --- ### Шаг 3: Построение треугольников и использование тригонометрии Рассмотрим треугольник \( ABH \): - \( AH \) — высота: \( AH = 9 \). - \( BH = 6 \), как мы нашли. Используя прямоугольный треугольник \( ABH \), найдём \( AB \): \[ AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}. \] --- ### Шаг 4: Находим \(\sin \angle ACB\) Обратим внимание, что: - \( \angle ACB \) — это угол у вершины \( C \). В треугольнике \( ABC \): - \( BC = 12 \), - \( AC = 12 \), - \( AB = 3\sqrt{13} \). Рассмотрим треугольник \( ABC \): Уже известны длины сторон, и треугольник равнобедренный. ### Шаг 5: Использование формулы для синуса угла Наиболее удобный способ — использовать формулу для синуса угла через стороны: \[ \sin \angle ACB = \frac{2 \times \text{площадь } \triangle ABC}{AC \times BC}. \] Нам нужно найти площадь треугольника \( ABC \). ### Шаг 6: Нахождение площади треугольника - Высота \( AH \) опущена из вершины \( A \) на сторону \( BC \). - Мы можем найти площадь по формуле: \[ \text{Площадь } \triangle ABC = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 = 54. \] ### Шаг 7: Подставляем в формулу для \(\sin \angle ACB\) \[ \sin \angle ACB = \frac{2 \times 54}{AC \times BC} = \frac{108}{12 \times 12} = \frac{108}{144} = \frac{3}{4} = 0.75. \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{\sin \angle ACB = \frac{3}{4}} \] Если потребуется, можно оставить в виде десятичного значения — 0,75.