найди корни (x+6)^2=(15-x^2)

Давайте решим уравнение \((x + 6)^2 = 15 - x^2\) пошагово и подробно объясним каждый этап.

Шаг 1: Раскройте левую часть уравнения

Используем формулу квадрата суммы: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Для \((x + 6)^2\): \[ (x + 6)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = x^2 + 12x + 36 \]

Теперь перепишем уравнение: \[ x^2 + 12x + 36 = 15 - x^2 \]

Шаг 2: Перенесите все в одну сторону уравнения

Чтобы решить уравнение, удобно получить все члены на левую сторону: \[ x^2 + 12x + 36 - 15 + x^2 = 0 \]

Объединим подобные члены: \[ x^2 + x^2 + 12x + (36 - 15) = 0 \] \[ 2x^2 + 12x + 21 = 0 \]

Шаг 3: Упростите уравнение

Можно разделить всё уравнение на 1 (так как деление на коэффициент 2 не обязательно, но для удобства): \[ 2x^2 + 12x + 21 = 0 \]

или оставить как есть. Заметим, что коэффиценты можно упростить, разделив всё уравнение на 1, чтобы сохранить его в исходном виде. Но лучше сразу перейти к решению квадратичного уравнения.

Шаг 4: Решите квадратное уравнение

Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь: \[ a = 2,\quad b = 12,\quad c = 21 \]

Подставляем в формулу: \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21}}{2 \cdot 2} \]

Вычисляем дискриминант: \[ D = 12^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21 = 144 - 168 = -24 \]

Шаг 5: Анализ дискриминанта

П since \(D = -24 < 0\), у уравнения нет вещественных решений. Корни будут комплексными.

Шаг 6: Запишите комплексные корни

Находим корни по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] где \(\sqrt{D} = \sqrt{-24} = \sqrt{24} \cdot i\).

Рассчитаем \(\sqrt{24}\): \[ \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2 \sqrt{6} \]

Тогда: \[ x = \frac{-12 \pm 2 \sqrt{6} \, i}{4} \]

Сократим числитель и знаменатель на 2: \[ x = \frac{-12}{4} \pm \frac{2 \sqrt{6} \, i}{4} = -3 \pm \frac{\sqrt{6}}{2} i \]

Ответ:

Комплексные корни уравнения:

\[ \boxed{ x = -3 \pm \frac{\sqrt{6}}{2} i } \]

Если нужны более подробные объяснения или проверка, скажите!