Диаметр окружности AВ равен 17. Хорда ВС имеет длину 8. Какова длина хорды АС?

Дано:

• Диаметр окружности \(AB = 17\)
• \(AB\) — диаметр, значит радиус окружности \(R = \frac{AB}{2} = \frac{17}{2} = 8.5\)
• Хорда \(BC = 8\)

Нужно найти длину хорды \(AC\).

Шаги решения:

1. Расположим окружность с центром \(O\). Пусть точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на окружности.
2. Так как \(AB\) — диаметр, то угол \(\angle ACB\), где \(C\) — точка на окружности, является вписанным углом, опирающимся на дугу, не содержащую точку \(A\) и \(B\).
3. Также известно, что точки \(A\), \(B\) находятся на окружности, \(AB = 17\).

Рассмотрим треугольник \(OBC\):

• \(OB = OC = R = 8.5\)
• \(BC = 8\)

Используем теорему о косинусах в треугольнике \(OBC\): \[ OC^2 = OB^2 + BC^2 - 2 \cdot OB \cdot BC \cdot \cos \angle OBC \]

Но, на самом деле, важнее понять отношение между дугами и углами.

Альтернативный подход: поскольку \(AB\) — диаметр, то \(A\) и \(B\) принадлежат окружности, и угол \(\angle ACB\), где \(C\) — любая точка на окружности, равен половине дуги \(AB\), не содержащей \(C\).

Но чтобы найти длину \(AC\), можно использовать свойства дужек и радиусов.

Обозначим:

• Центр окружности – \(O\);
• Расстояние от \(O\) до \(C\) равно радиусу \(R = 8.5\);
• Хорда \(BC =8\);
• Нам нужно найти длину \(AC\).

Обратите внимание, что \(A\) — на окружности, и, поскольку \(AB\) — диаметр, угол \(ACB\) равен 90° (так как угол вписанный, опирающийся на дугу, равную полуокружности). То есть:

\[ \angle ACB = 90^\circ \]

Теперь рассчитаем:

• В треугольнике \(ABC\):

\[ AB = 17 \] \[ CB = 8 \] \[ \angle ACB= 90^\circ \]

Из-за этого, по теореме Пифагора в треугольнике \(ABC\):

\[ AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15 \]

Ответ:

\[ \boxed{15} \]

Длина хорды \(AC\) равна 15.