Решите
Конечно! Рассмотрим по порядку все задания и решим их.
Задача 1:
Какая из пар чисел (0; 2) и (3; -2) является решением системы уравнений:
\[ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ 4x + 3y = 6 \end{cases} \]
Решение:
- Проверим первую пару (0; 2):
- Подставим в первое уравнение: \(2 \cdot 0 + 2 = 2 \neq 4\). Не подходит.
- Поэтому эта пара не является решением системы.
- Проверим вторую пару (3; -2):
- Подставим в первое уравнение: \(2 \cdot 3 + (-2) = 6 - 2 = 4\). Верно!
- Проверим во второе уравнение: \(4 \cdot 3 + 3 \cdot (-2) = 12 - 6 = 6\). Тоже верно!
Итак, пара (3; -2) является решением системы.
Задача 2:
Выберите из пар чисел (2; -1), (-1; 1) и (1; 1) ту, которая является решением системы:
\[ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ x + 4y = 5 \end{cases} \]
Решение:
Проверим каждую пару.
- (2; -1):
- \(x + 2y = 2 + 2 \cdot (-1) = 2 - 2 = 0 \neq 3\). Не подходит.
- (-1; 1):
- \(-1 + 2 \cdot 1 = -1 + 2 = 1 \neq 3\). Не подходит.
- (1; 1):
- \(1 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3\), подходит для первого уравнения.
- Проверим второе уравнение: \(1 + 4 \cdot 1 = 1 + 4 = 5\), подходит.
Ответ: решением является пара \(\boxed{(1; 1)}\).
Задача 3:
Построить графики систем уравнений и определить число решений.
а)
\[
\begin{cases}
2x + y = 5 \\
x - y = 3
\end{cases}
\]
б)
\[
\begin{cases}
x - y = 6 \\
-x + y = -3
\end{cases}
\]
Решение:
а):
Выразим \(y\) через \(x\) из второго уравнения: \(x - y = 3 \Rightarrow y = x - 3\).
Подставим в первое: \(2x + (x - 3) = 5 \Rightarrow 2x + x - 3 = 5 \Rightarrow 3x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{3}\).
Тогда \(y = \frac{8}{3} - 3 = \frac{8}{3} - \frac{9}{3} = -\frac{1}{3}\).
Число решений: одна точка, то есть один, графики пересекаются в одной точке.
б):
Выразим \(y\) из первого: \(x - y = 6 \Rightarrow y = x - 6\).
Подставим во второе: \(-x + y = -3\):
\[ -x + (x - 6) = -3 \Rightarrow -x + x - 6 = -3 \Rightarrow -6 = -3 \]
Это неверное равенство, значит системы не имеет решений – графики параллельны.
Ответ: 0 решений.
Если нужно построить графики, то для каждого уравнения можно взять несколько точек и изобразить прямые, но для объектов я могу помочь с построением, если потребуется.
Если есть еще вопросы или нужен более развернутый разбор — скажите!
