Давайте разобьем задачу на шаги и подробно объясним решение.
Задача:
Вероятность того, что за один день расход электроэнергии не превысит норму, равна 0,8.
Требуется найти вероятность того, что за 5 из 7 дней перерасхода не будет (то есть, в эти 5 дней расход не превысит норму).
Что означает условие?
- Вероятность непересечения нормы за один день: ( p = 0,8 ).
- Значит, вероятность перерасхода за один день: ( q = 1 - p = 0,2 ).
Нам нужно найти вероятность того, что из 7 дней не будет перерасхода в 5 из этих дней. Иными словами, в этих 7 дней мы рассматриваем ситуации, где перерасход случается ровно 2 раза, а остальные 5 — без перерасхода.
Как решить?
Это задача на биномиальное распределение.
Обозначим:
- число дней без перерасхода ( x = 5 ),
- число дней с перерасходом ( n - x = 2 ),
- всего дней ( n = 7 ).
Вероятность выбрать ровно 5 дней без перерасхода и 2 — с перерасходом — по формуле биномиального распределения:
[
P = C_{n}^{x} \times p^{x} \times q^{n - x}
]
где
- ( C_{n}^{x} ) — число сочетаний "из 7 выбрать 5",
- ( p^{x} ) — вероятность для 5 дней без перерасхода,
- ( q^{n - x} ) — вероятность для 2 дней с перерасходом.
Подставляем числа:
[
P = C_{7}^{5} \times (0,8)^5 \times (0,2)^2
]
Через свойство сочетаний:
[
C_{7}^{5} = C_{7}^{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21
]
Теперь вычисляем:
[
P = 21 \times (0,8)^5 \times (0,2)^2
]
Вычисление степеней:
[
(0,8)^5 = 0,8 \times 0,8 \times 0,8 \times 0,8 \times 0,8
]
- ( 0,8 \times 0,8 = 0,64 )
- ( 0,64 \times 0,8 = 0,512 )
- ( 0,512 \times 0,8 = 0,4096 )
- ( 0,4096 \times 0,8 = 0,32768 )
Т.е.,
[
(0,8)^5 \approx 0,32768
]
и
[
(0,2)^2 = 0,04
]
Итоговое вычисление:
[
P \approx 21 \times 0,32768 \times 0,04
]
Посчитаем:
[
0,32768 \times 0,04 = 0,0131072
]
Теперь умножим на 21:
[
21 \times 0,0131072 \approx 0,275252
]
Округлим до тысячных:
[
\boxed{0,275}
]
Итог:
Вероятность того, что в течение пяти рабочих дней из семи перерасхода электроэнергии не будет, равна примерно 0,275.
