Давайте вместе разберем каждую задачу по порядку. Я подробно объясню решения и все необходимые вычисления.
Задача 1
В прямом цилиндре радиус основания 3 см, площадь боковой поверхности равна двум площадям основания. Найти высоту.
Дано:
- радиус основания ( r = 3 \text{ см} )
- площадь боковой поверхности ( S_b = 2 \times S_{осн} )
Найти:
Решение:
Площадь основания цилиндра:
[
S_{осн} = \pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi , \text{см}^2
]
Площадь боковой поверхности цилиндра:
[
S_b = 2 \times S_{осн} = 2 \times 9\pi = 18\pi , \text{см}^2
]
Формула площади боковой поверхности цилиндра:
[
S_b = 2 \pi r h
]
Подставим известные значения:
[
18\pi = 2\pi \times 3 \times h
]
уп simplifying:
[
18\pi = 6\pi h
]
Рассчитаем высоту ( h ):
[
h = \frac{18\pi}{6\pi} = 3 \text{ см}
]
Ответ: высота цилиндра равна 3 см.
Задача 2
Образующая конуса составляет с высотой угол в 60°, высота равна 12 см. Найти радиус основания и образующую.
Дано:
- угол между образующей и высотой ( \alpha = 60^\circ )
- высота ( h = 12 \text{ см} )
Найти:
- радиус основания ( r )
- образующую ( l )
Решение:
Образующая и высота образуют прямой угол с радиусом, а угол между образующей и высотой = 60°, значит:
- в треугольнике, где высота ( h ), радиус ( r ), и образующая ( l ):
[
\cos 60^\circ = \frac{h}{l}
]
Найдем ( l ):
[
\cos 60^\circ = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{h}{l} = \frac{1}{2}
]
[
l = 2h = 2 \times 12 = 24 \text{ см}
]
Найдем ( r ):
Используем синус:
[
\sin 60^\circ = \frac{r}{l}
]
[
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
[
r = l \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 24 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \sqrt{3} \text{ см}
]
Ответ:
- радиус основания ( r = 12 \sqrt{3} \approx 20.78 \text{ см} )
- образующая ( l = 24 \text{ см} )
Задача 3
В усеченном конусе радиусы оснований 7 дм и 15 дм, образующая равна 17 дм. Найти высоту и площадь полной поверхности.
Дано:
- радиус верхнего основания ( r_1 = 7 \text{ дм} )
- радиус нижнего основания ( r_2 = 15 \text{ дм} )
- образующая ( l = 17 \text{ дм} )
Найти:
- высоту ( h )
- площадь полной поверхности ( S )
Решение:
- Найдем высоту ( h ):
В треугольнике, образующей, радиус верхнего и нижнего оснований связаны с высотой:
[
h = \sqrt{l^2 - (r_2 - r_1)^2}
]
подставим:
[
h = \sqrt{17^2 - (15 - 7)^2} = \sqrt{289 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15 \text{ дм}
]
Площадь боковой поверхности:
[
S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l
]
[
S_{бок} = \pi (7 + 15) \times 17 = \pi \times 22 \times 17 = 374 \pi \text{ дм}^2
]
Площадь основания:
[
S_{осн} = \pi r_1^2 + \pi r_2^2 = \pi (7^2 + 15^2) = \pi (49 + 225) = 274 \pi
]
Площадь полной поверхности:
[
S_{полная} = S_{бок} + S_{осн} = 374 \pi + 274 \pi = 648 \pi \text{ дм}^2
]
Ответ:
- высота ( h = 15 \text{ дм} )
- площадь полной поверхности ( \approx 648 \pi \approx 2037.6 \text{ дм}^2 )
Задача 4
Площадь большого круга шара равна 5. Найдите площадь поверхности шара.
Дано:
- площадь большого круга (нашей "площадь основания" шара): ( S_c = 5 )
Обозначим:
Решение:
Площадь круга:
[
S_c = \pi R^2 = 5
]
отсюда:
[
R^2 = \frac{5}{\pi}
]
Площадь поверхности шара:
[
S = 4 \pi R^2
]
подставим ( R^2 ):
[
S = 4 \pi \times \frac{5}{\pi} = 4 \times 5 = 20
]
Ответ: площадь поверхности шара равна 20.
Задача 5
Напишите уравнение сферы с центром в точке ( A(-3, 2, 4) ) и проходящей через точку ( B(4, 1, -1) ).
Решение:
Находим радиус ( R ):
[
R = \text{расстояние между } A \text{ и } B
]
Вычисляем расстояние:
[
R = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}
]
подставим:
[
R = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (1 - 2)^2 + (-1 - 4)^2}
]
[
= \sqrt{(7)^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{49 + 1 + 25} = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}
]
- Уравнение сферы:
[
(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (z - z_A)^2 = R^2
]
подставим:
[
(x + 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 4)^2 = (5 \sqrt{3})^2 = 75
]
Ответ:
[
\boxed{
(x + 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 4)^2 = 75
}
]
Если нужно, я могу помочь дополнительно с прошлыми задачами или объяснить более подробно любую из них!
