Практическая работа по теме тела вращения, вариант 9 1. В прямом цилиндре радиус основания 3 см, площадь боковой поверхности равна двум площадям основания. Найти высоту. 2.…

Давайте вместе разберем каждую задачу по порядку. Я подробно объясню решения и все необходимые вычисления.

---

Задача 1

В прямом цилиндре радиус основания 3 см, площадь боковой поверхности равна двум площадям основания. Найти высоту.

Дано:

• радиус основания \( r = 3 \text{ см} \)
• площадь боковой поверхности \( S_b = 2 \times S_{осн} \)

Найти:

• высоту цилиндра \( h \)

Решение:

1. Площадь основания цилиндра:
   \[ S_{осн} = \pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi \, \text{см}^2 \]

2. Площадь боковой поверхности цилиндра:
   \[ S_b = 2 \times S_{осн} = 2 \times 9\pi = 18\pi \, \text{см}^2 \]

3. Формула площади боковой поверхности цилиндра:
   \[ S_b = 2 \pi r h \] Подставим известные значения:
   \[ 18\pi = 2\pi \times 3 \times h \] уп simplifying:
   \[ 18\pi = 6\pi h \]

4. Рассчитаем высоту \( h \):
   \[ h = \frac{18\pi}{6\pi} = 3 \text{ см} \]

Ответ: высота цилиндра равна 3 см.

---

Задача 2

Образующая конуса составляет с высотой угол в 60°, высота равна 12 см. Найти радиус основания и образующую.

Дано:

• угол между образующей и высотой \( \alpha = 60^\circ \)
• высота \( h = 12 \text{ см} \)

Найти:

• радиус основания \( r \)
• образующую \( l \)

Решение:

Образующая и высота образуют прямой угол с радиусом, а угол между образующей и высотой = 60°, значит:

• в треугольнике, где высота \( h \), радиус \( r \), и образующая \( l \): \[ \cos 60^\circ = \frac{h}{l} \]

1. Найдем \( l \):
   \[ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{h}{l} = \frac{1}{2} \] \[ l = 2h = 2 \times 12 = 24 \text{ см} \]

2. Найдем \( r \):
   Используем синус:
   \[ \sin 60^\circ = \frac{r}{l} \] \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ r = l \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 24 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \sqrt{3} \text{ см} \]

Ответ:

• радиус основания \( r = 12 \sqrt{3} \approx 20.78 \text{ см} \)
• образующая \( l = 24 \text{ см} \)

---

Задача 3

В усеченном конусе радиусы оснований 7 дм и 15 дм, образующая равна 17 дм. Найти высоту и площадь полной поверхности.

Дано:

• радиус верхнего основания \( r_1 = 7 \text{ дм} \)
• радиус нижнего основания \( r_2 = 15 \text{ дм} \)
• образующая \( l = 17 \text{ дм} \)

Найти:

• высоту \( h \)
• площадь полной поверхности \( S \)

Решение:

1. Найдем высоту \( h \):
   В треугольнике, образующей, радиус верхнего и нижнего оснований связаны с высотой:
   \[ h = \sqrt{l^2 - (r_2 - r_1)^2} \]

подставим:
\[ h = \sqrt{17^2 - (15 - 7)^2} = \sqrt{289 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15 \text{ дм} \]

2. Площадь боковой поверхности:
   \[ S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l \] \[ S_{бок} = \pi (7 + 15) \times 17 = \pi \times 22 \times 17 = 374 \pi \text{ дм}^2 \]

3. Площадь основания:
   \[ S_{осн} = \pi r_1^2 + \pi r_2^2 = \pi (7^2 + 15^2) = \pi (49 + 225) = 274 \pi \]

4. Площадь полной поверхности:
   \[ S_{полная} = S_{бок} + S_{осн} = 374 \pi + 274 \pi = 648 \pi \text{ дм}^2 \]

Ответ:

• высота \( h = 15 \text{ дм} \)
• площадь полной поверхности \( \approx 648 \pi \approx 2037.6 \text{ дм}^2 \)

---

Задача 4

Площадь большого круга шара равна 5. Найдите площадь поверхности шара.

Дано:

• площадь большого круга (нашей "площадь основания" шара): \( S_c = 5 \)

Обозначим:

• радиус шара \( R \)

Решение:

1. Площадь круга: \[ S_c = \pi R^2 = 5 \] отсюда:
   \[ R^2 = \frac{5}{\pi} \]

2. Площадь поверхности шара:
   \[ S = 4 \pi R^2 \] подставим \( R^2 \):
   \[ S = 4 \pi \times \frac{5}{\pi} = 4 \times 5 = 20 \]

Ответ: площадь поверхности шара равна 20.

---

Задача 5

Напишите уравнение сферы с центром в точке \( A(-3, 2, 4) \) и проходящей через точку \( B(4, 1, -1) \).

Решение:

1. Находим радиус \( R \):
   \[ R = \text{расстояние между } A \text{ и } B \]

2. Вычисляем расстояние:

\[ R = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \]

подставим:
\[ R = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (1 - 2)^2 + (-1 - 4)^2} \] \[ = \sqrt{(7)^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{49 + 1 + 25} = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3} \]

3. Уравнение сферы:
   \[ (x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (z - z_A)^2 = R^2 \]

подставим:
\[ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 4)^2 = (5 \sqrt{3})^2 = 75 \]

Ответ:
\[ \boxed{ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 4)^2 = 75 } \]

---

Если нужно, я могу помочь дополнительно с прошлыми задачами или объяснить более подробно любую из них!