Работая вместе. Саша, Маша и Паша пропалывают грядку за 50/7 минуты. Если бы грядку пропалывали только Саша и Маша, они бы выполнили работу за75/8 минуты, а если бы ту же грядку пропалывали Саша и Паша вдвоём. у них бы на это ушло 150/11 минуты. Сколько времени потребуется Маше и Паше, чтобы прополоть всю грядку вдвоём? Ответ выразите в минутах.
Ответ нейросети
25 мая 2025 12:35
Давайте обозначим время, за которое работают на грядке каждый из троих: Саша — ( S ), Маша — ( M ), Паша — ( P ). Все эти значения — время в минутах, за которое каждый из них один выполняет работу по пропалыванию всей грядки.
Обозначим работу так:
Общая работа — 1 (одна грядка).
Время работы каждого связана с выполнением работы по формуле:
[ \text{скорость} = \frac{1}{\text{время}} ]
Итак:
- Скорость Саши — ( \frac{1}{S} )
- Скорость Маши — ( \frac{1}{M} )
- Скорость Паши — ( \frac{1}{P} )
Шаг 1: Запишем данные из условия
Все трое вместе:
Работают за ( \frac{50}{7} ) минут, значит:
[ \frac{1}{S} + \frac{1}{M} + \frac{1}{P} = \frac{1}{(50/7)} = \frac{7}{50} ]Саша и Маша:
Работают за ( \frac{75}{8} ) минут:
[ \frac{1}{S} + \frac{1}{M} = \frac{1}{(75/8)} = \frac{8}{75} ]Саша и Паша:
Работают за ( \frac{150}{11} ) минут:
[ \frac{1}{S} + \frac{1}{P} = \frac{1}{(150/11)} = \frac{11}{150} ]
Шаг 2: Найдём (\frac{1}{M}) и (\frac{1}{P})
Из первых двух уравнений:
[
\frac{1}{S} + \frac{1}{M} = \frac{8}{75}
]
[
\frac{1}{S} + \frac{1}{M} + \frac{1}{P} = \frac{7}{50}
]
Вычитая из третьего уравнения первое:
[
\left( \frac{1}{S} + \frac{1}{M} + \frac{1}{P} \right) - \left( \frac{1}{S} + \frac{1}{M} \right) = \frac{7}{50} - \frac{8}{75}
]
[
\frac{1}{P} = \frac{7}{50} - \frac{8}{75}
]
Приведём обе дроби к общему знаменателю ( 150 ):
[
\frac{1}{P} = \frac{7 \times 3}{150} - \frac{8 \times 2}{150} = \frac{21}{150} - \frac{16}{150} = \frac{5}{150} = \frac{1}{30}
]
Следовательно,
[
\frac{1}{P} = \frac{1}{30} \Rightarrow P = 30
]
Шаг 3: Найдём (\frac{1}{S}) и (\frac{1}{M})
Используем второе уравнение:
[
\frac{1}{S} + \frac{1}{M} = \frac{8}{75}
]
И первое уравнение:
[
\frac{1}{S} + \frac{1}{M} + \frac{1}{P} = \frac{7}{50}
]
Подставим ( \frac{1}{P} = \frac{1}{30} ) в это уравнение:
[
\frac{8}{75} + \frac{1}{30} = \frac{7}{50}
]
Посчитаем левую часть:
Приведём к общему знаменателю 150:
[
\frac{8 \times 2}{150} + \frac{1 \times 5}{150} = \frac{16}{150} + \frac{5}{150} = \frac{21}{150}
]
А правая — к тому же знаменателю:
[
\frac{7}{50} = \frac{7 \times 3}{150} = \frac{21}{150}
]
Это верно, подтверждает, что всё правильно.
Теперь найдём (\frac{1}{S}) и (\frac{1}{M}). Из уравнения:
[
\frac{1}{S} + \frac{1}{M} = \frac{8}{75}
]
Переходим к (\frac{1}{S}):
Используем уравнение из данных:
[
\frac{1}{S} = \frac{8}{75} - \frac{1}{M}
]
Из уравнения с Пашей:
[
\frac{1}{P} = \frac{1}{30}
]
и из второго уравнения:
[
\frac{1}{S} + \frac{1}{M} = \frac{8}{75}
]
Также, чтобы найти (\frac{1}{S}) и (\frac{1}{M}), можно решить систему:
[ \frac{1}{S} + \frac{1}{M} = \frac{8}{75} ] [ \frac{1}{S} + \frac{1}{P} = \frac{11}{150} ]
Где (\frac{1}{P} = \frac{1}{30} = \frac{5}{150})
Подставим ( \frac{1}{P} ) в второе уравнение:
[ \frac{1}{S} + \frac{5}{150} = \frac{11}{150} \Rightarrow \frac{1}{S} = \frac{11}{150} - \frac{5}{150} = \frac{6}{150} = \frac{1}{25} ]
Теперь найдём ( \frac{1}{M} ):
Используя первое уравнение:
[ \frac{1}{S} + \frac{1}{M} = \frac{8}{75} ]
Переведём в дроби с общим знаменателем ( 75 ):
[ \frac{1}{S} = \frac{1}{25} = \frac{3}{75} ]
Тогда:
[ \frac{3}{75} + \frac{1}{M} = \frac{8}{75} ] [ \frac{1}{M} = \frac{8}{75} - \frac{3}{75} = \frac{5}{75} = \frac{1}{15} ]
Итоги:
[ \boxed{ \begin{aligned} &\frac{1}{S} = \frac{1}{25} \Rightarrow S = 25 \text{ минут} \ &\frac{1}{M} = \frac{1}{15} \Rightarrow M = 15 \text{ минут} \ &P = 30 \text{ минут} \end{aligned} } ]
Шаг 4: Найдём время, за которое Маше и Паше вместе прополют грядку
Их совместная скорость:
[
\frac{1}{M} + \frac{1}{P} = \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} + \frac{1}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}
]
Время:
[
T = \frac{1}{\text{их скорость}} = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10 \text{ минут}
]
Ответ: Маше и Паше потребуется 10 минут, чтобы прополоть всю грядку вдвоём.
Если нужно ещё что-то пояснить — спрашивайте!
Понравился ответ?
Задай свой вопрос
Напиши любую задачу или вопрос, а нейросеть её решит
