Рассмотрим задачу пошагово:
Дано:
- В треугольнике ( ABC ) угол ( C ) — прямой (( \angle C = 90^\circ ))
- ( M ) — середина стороны ( AB )
- ( AB = 26 )
- ( BC = 18 )
Требуется найти ( CM ).
Шаг 1: Определение формы треугольника
Так как ( \angle C = 90^\circ ), то:
- ( C ) — вершина прямого угла.
- ( AB ) — гипотенуза.
- ( AC ) и ( BC ) — катеты.
Из этого:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Известно:
[
AB = 26, \quad BC = 18
]
Следовательно, найдём ( AC ):
[
AC^2 = AB^2 - BC^2 = 26^2 - 18^2 = 676 - 324 = 352
]
[
AC = \sqrt{352} = \sqrt{16 \times 22} = 4\sqrt{22}
]
Шаг 2: Вводим координаты точек
Для удобства возьмем координаты:
- ( C ) — в начале координат: ( C(0, 0) ),
- ( B ) — на оси ( x ), так как ( BC = 18 ), то ( B(18, 0) ),
- ( A ) — на оси ( y ), так как ( AC = 4\sqrt{22} ), то ( A(0, 4\sqrt{22}) ).
Проверим, что ( AB = 26 ):
[
AB = \sqrt{(18-0)^2 + (0 - 4\sqrt{22})^2} = \sqrt{18^2 + (4\sqrt{22})^2}
]
[
= \sqrt{324 + 16 \times 22} = \sqrt{324 + 352} = \sqrt{676} = 26
]
Работает!
Шаг 3: Найдём координаты точки ( M )
( M ) — середина ( AB ):
[
A(0, 4\sqrt{22}), \quad B(18, 0)
]
Тогда координаты ( M ):
[
M\left(\frac{0 + 18}{2}, \frac{4\sqrt{22} + 0}{2}\right) = (9, 2\sqrt{22})
]
Шаг 4: Найдём расстояние ( CM )
Точка ( C ) — в начале: ( (0, 0) ).
Расстояние между ( C(0,0) ) и ( M(9, 2\sqrt{22}) ):
[
CM = \sqrt{(9 - 0)^2 + (2\sqrt{22} - 0)^2} = \sqrt{81 + 4 \times 22}
]
[
= \sqrt{81 + 88} = \sqrt{169} = 13
]
Ответ:
[
\boxed{CM = 13}
]
Если есть дополнительные вопросы или нужен более развернутый разбор — скажите!
