Вычислите массу однородной пластины (плотность ρ=1 ), ограниченную линиями: y=x5 , x=2,7 , y=0 . Ответ округлите до сотых.

Давайте решим задачу пошагово.

Задача: Вычислить массу однородной пластины с плотностью ρ=1, которая ограничена линиями:

• y = x^5
• x = 2
• y = 0

Итоговая масса:
\[ M = \iint\limits_D \rho \, dS \]
где \( D \) — область, ограниченная указанными линиями.

Шаг 1. Определение области интегрирования

Область \( D \):

• Ограничена снизу линией \( y = 0 \),
• Справа — вертикальной линией \( x = 2 \),
• Слева — линией \( y = x^5 \).

Так как \( y = x^5 \) возрастает при увеличении \( x \), и чтобы найти границы интегрирования, нужно определить диапазон \( x \):

• По условию, границы по \( x \) — от \( 0 \) (пересечение с \( y=0 \), где \( y = x^5 = 0 \)) до 2.

Поскольку область ограничена линиями \( y=0 \) снизу и \( y=x^5 \) сверху, и по \( x \) — от 0 до 2.

Шаг 2. Записать параметры интегрирования

Для вычисления массы удобно перейти к интегралу по области \( D \):

\[ M = \iint\limits_D \rho \, dA \]

Поскольку плотность \( \rho=1 \), то:

\[ M = \iint\limits_D dA \]

Используем интеграл по области:

\[ M = \int_{x=0}^{2} \int_{y=0}^{x^5} dy \, dx \]

Шаг 3. Решение двойного интеграла

Первым интегрируем по \( y \):

\[ \int_{y=0}^{x^5} dy = y \big|_{0}^{x^5} = x^5 \]

Теперь получаем выражение для массы:

\[ M = \int_{0}^{2} x^5 dx \]

Вычисляем односторонний интеграл:

\[ \int x^5 dx = \frac{x^{6}}{6} \]

на интервале от 0 до 2:

\[ M = \left.\frac{x^6}{6}\right|_{0}^{2} = \frac{2^6}{6} - 0 = \frac{64}{6} = \frac{32}{3} \]

Итог

Масса пластины равна:

\[ M = \frac{32}{3} \approx 10.666\ldots \]

Округляем до сотых:

\[ \boxed{10.67} \]

Ответ:

Масса пластины равна 10.67.