Давайте решим задачу пошагово.
Задача: Вычислить массу однородной пластины с плотностью ρ=1, которая ограничена линиями:
Итоговая масса:
[ M = \iint\limits_D \rho , dS ]
где ( D ) — область, ограниченная указанными линиями.
Шаг 1. Определение области интегрирования
Область ( D ):
- Ограничена снизу линией ( y = 0 ),
- Справа — вертикальной линией ( x = 2 ),
- Слева — линией ( y = x^5 ).
Так как ( y = x^5 ) возрастает при увеличении ( x ), и чтобы найти границы интегрирования, нужно определить диапазон ( x ):
- По условию, границы по ( x ) — от ( 0 ) (пересечение с ( y=0 ), где ( y = x^5 = 0 )) до 2.
Поскольку область ограничена линиями ( y=0 ) снизу и ( y=x^5 ) сверху, и по ( x ) — от 0 до 2.
Шаг 2. Записать параметры интегрирования
Для вычисления массы удобно перейти к интегралу по области ( D ):
[
M = \iint\limits_D \rho , dA
]
Поскольку плотность ( \rho=1 ), то:
[
M = \iint\limits_D dA
]
Используем интеграл по области:
[
M = \int_{x=0}^{2} \int_{y=0}^{x^5} dy , dx
]
Шаг 3. Решение двойного интеграла
Первым интегрируем по ( y ):
[
\int_{y=0}^{x^5} dy = y \big|_{0}^{x^5} = x^5
]
Теперь получаем выражение для массы:
[
M = \int_{0}^{2} x^5 dx
]
Вычисляем односторонний интеграл:
[
\int x^5 dx = \frac{x^{6}}{6}
]
на интервале от 0 до 2:
[
M = \left.\frac{x^6}{6}\right|_{0}^{2} = \frac{2^6}{6} - 0 = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}
]
Итог
Масса пластины равна:
[
M = \frac{32}{3} \approx 10.666\ldots
]
Округляем до сотых:
[
\boxed{10.67}
]
Ответ:
Масса пластины равна 10.67.
