.
Давайте разберёмся с первым заданием и найдём правильное разложение на множители выражения:
\[31x^2 - 100y^4.\]
Наша задача — выбрать правильное разложение из предложенных вариантов.
Анализ выражения
Обрати внимание, что:
- \(31x^2\) — это первый член.
- \(100y^4\) — это второй член.
Общий вид выражения напоминает разность квадратов или по крайней мере разность двух выражений, которые можно разложить.
Шаг 1: Определение силы и формы выражения
- \(31x^2\) — не является полным квадратом, так как 31 — простое число.
- \(100y^4 = (10y^2)^2\) — это полная степень квадрата.
Чтобы упростить выражение, попробуем представить его в виде разности двух квадратов, которая имеет вид:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \]
Поскольку 31 — простое число, ищем другие способы.
Шаг 2: Проверка возможных разложений
Обратим внимание на предложения ответов.
Последний вариант:
\[ (9x - 10 y^2)(9x + 10 y^2). \]
Обратите внимание, что — это разложение разности квадратов:
\[ (9x)^2 - (10 y^2)^2 = 81x^2 - 100 y^4. \]
Но исходное выражение — это:
\[ 31x^2 - 100 y^4, \]
что не совпадает с этим разложением, потому что 81x^2 вместо 31x^2.
Следовательно, этот разряд исключён.
Шаг 3: Другие варианты
Другие варианты:
- \((9x - 10 y)^2\) — это квадрат выражения, и при раскрытии даст:
\[ (9x)^2 - 2 \times 9x \times 10 y + (10 y)^2 = 81x^2 - 180 xy + 100 y^2, \]
что явно не равно исходному выражению.
- \((9x - 10 y^2)^2\) — проверим:
\[ 81 x^2 - 2 \times 9x \times 10 y^2 + 100 y^4 = 81x^2 - 180 xy^2 + 100 y^4, \]
что не равно исходному выражению. Значит, и это вариант исключён.
- \( (10 y^2 - 9 x)(10 y^2 + 9 x) \):
Раскроем:
\[ (10 y^2)^2 - (9 x)^2 = 100 y^4 - 81 x^2, \]
что равно \(- (81 x^2 - 100 y^4) \), то есть — только с противоположным знаком.
Итак, он дает отрицательную версию исходного выражения, так что и он не подходит.
Итог: правильное соответствие — это первый вариант
Обратите внимание, что:
\[ (9x - 10 y^2)(9x + 10 y^2) = 81x^2 - 100 y^4, \]
что по знакам противоположно исходному выражению.
Значит, разложение для \(\boxed{31x^2 - 100 y^4}\) не может быть вынесена по этому способу.
Итог:
После внимательного анализа видим, что правильный разложение — это:
\[ (9x - 10 y^2)^2, \]
чему соответствует вариант:
\[ (9x - 10 y^2)^2. \]
Оно даёт:
\[ 81x^2 - 180 xy^2 + 100 y^4, \]
что не совпадает с исходным, значит, это неправильное.
Но, поскольку ответ с таким разложением есть — правильным ответом является последний вариант:
\[ (9x - 10 y^2)(9x + 10 y^2), \]
хотя он даёт — \(81x^2 - 100 y^4\).
Итог: самое подходящее разложение— это последний вариант, учитывая, что в задаче — лежит идея разложения как разности квадратов.
Ответ:
Последний вариант:
\[ (9x - 10 y^2)(9x + 10 y^2). \]
Если вдруг в вашем варианте есть опечатка или особая инструкция, — лучше сверить, что именно нужно разлагать. Обычно выражение вида \(a^2 - b^2\) разлагается так.
Если есть ещё вопросы — пишите!
