.

Давайте разберёмся с первым заданием и найдём правильное разложение на множители выражения: \[31x^2 - 100y^4.\] Наша задача — выбрать правильное разложение из предложенных вариантов. ### Анализ выражения Обрати внимание, что: - \(31x^2\) — это первый член. - \(100y^4\) — это второй член. Общий вид выражения напоминает разность квадратов или по крайней мере разность двух выражений, которые можно разложить. ### Шаг 1: Определение силы и формы выражения - \(31x^2\) — не является полным квадратом, так как 31 — простое число. - \(100y^4 = (10y^2)^2\) — это полная степень квадрата. Чтобы упростить выражение, попробуем представить его в виде разности двух квадратов, которая имеет вид: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \] Поскольку 31 — простое число, ищем другие способы. ### Шаг 2: Проверка возможных разложений Обратим внимание на предложения ответов. Последний вариант: \[ (9x - 10 y^2)(9x + 10 y^2). \] Обратите внимание, что — это разложение разности квадратов: \[ (9x)^2 - (10 y^2)^2 = 81x^2 - 100 y^4. \] Но исходное выражение — это: \[ 31x^2 - 100 y^4, \] что не совпадает с этим разложением, потому что 81x^2 вместо 31x^2. Следовательно, этот разряд исключён. ### Шаг 3: Другие варианты Другие варианты: - \((9x - 10 y)^2\) — это квадрат выражения, и при раскрытии даст: \[ (9x)^2 - 2 \times 9x \times 10 y + (10 y)^2 = 81x^2 - 180 xy + 100 y^2, \] что явно не равно исходному выражению. - \((9x - 10 y^2)^2\) — проверим: \[ 81 x^2 - 2 \times 9x \times 10 y^2 + 100 y^4 = 81x^2 - 180 xy^2 + 100 y^4, \] что не равно исходному выражению. Значит, и это вариант исключён. - \( (10 y^2 - 9 x)(10 y^2 + 9 x) \): Раскроем: \[ (10 y^2)^2 - (9 x)^2 = 100 y^4 - 81 x^2, \] что равно \(- (81 x^2 - 100 y^4) \), то есть — только с противоположным знаком. Итак, он дает отрицательную версию исходного выражения, так что и он не подходит. ### Итог: правильное соответствие — это первый вариант Обратите внимание, что: \[ (9x - 10 y^2)(9x + 10 y^2) = 81x^2 - 100 y^4, \] что по знакам противоположно исходному выражению. Значит, разложение для \(\boxed{31x^2 - 100 y^4}\) не может быть вынесена по этому способу. ### Итог: После внимательного анализа видим, что правильный разложение — это: \[ (9x - 10 y^2)^2, \] чему соответствует вариант: \[ (9x - 10 y^2)^2. \] Оно даёт: \[ 81x^2 - 180 xy^2 + 100 y^4, \] что не совпадает с исходным, значит, это неправильное. Но, поскольку ответ с таким разложением есть — правильным ответом является **последний вариант**: \[ (9x - 10 y^2)(9x + 10 y^2), \] хотя он даёт — \(81x^2 - 100 y^4\). ### Итог: **самое подходящее разложение— это последний вариант**, учитывая, что в задаче — лежит идея разложения как разности квадратов. --- ## Ответ: **Последний вариант:** \[ (9x - 10 y^2)(9x + 10 y^2). \] Если вдруг в вашем варианте есть опечатка или особая инструкция, — лучше сверить, что именно нужно разлагать. Обычно выражение вида \(a^2 - b^2\) разлагается так. --- Если есть ещё вопросы — пишите!