вычислите угол между векторами mn и kp если m 3 -2 4 n 4 -1 2 k 6 -3 2 p 7 -3 1
Давайте решать задачу пошагово, чтобы найти угол между векторами mn и kp.
Дано:
- Вектор mn = (4, -1, 2)
- Вектор kp = (7, -3, 1)
Цель: найти угол между векторами mn и kp.
1. Формула для нахождения угла между векторами
Угол \(\theta\) между двумя векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) определяется формулой:
\[ \cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \]
где:
- \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) — скалярное произведение векторов,
- \(|\vec{a}|\), \(|\vec{b}|\) — модули векторов.
2. Находим скалярное произведение \(\vec{mn} \cdot \vec{kp}\):
\[ (4) \times (7) + (-1) \times (-3) + (2) \times (1) = 4 \times 7 + (-1) \times (-3) + 2 \times 1 \]
Вычислим:
\[ = 28 + 3 + 2 = 33 \]
3. Находим модули векторов:
- Модуль вектора \(\vec{mn}\):
\[ |\vec{mn}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \]
- Модуль вектора \(\vec{kp}\):
\[ |\vec{kp}| = \sqrt{7^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 9 + 1} = \sqrt{59} \]
4. Находим косинус угла:
\[ \cos{\theta} = \frac{33}{\sqrt{21} \times \sqrt{59}} = \frac{33}{\sqrt{21 \times 59}} \]
Посчитаем подкоренное выражение:
\[ 21 \times 59 = 1239 \]
Следовательно,
\[ \cos{\theta} = \frac{33}{\sqrt{1239}} \]
Приблизительно:
\[ \sqrt{1239} \approx 35.2 \]
Тогда:
\[ \cos{\theta} \approx \frac{33}{35.2} \approx 0.9375 \]
5. Находим угол \(\theta\):
\[ \theta = \arccos(0.9375) \]
Это приблизительно:
\[ \theta \approx 20.4^\circ \]
Ответ:
Угол между векторами mn и kp примерно 20.4 градуса.
