Давайте решать задачу пошагово, чтобы найти угол между векторами mn и kp.
Дано:
- Вектор mn = (4, -1, 2)
- Вектор kp = (7, -3, 1)
Цель: найти угол между векторами mn и kp.
1. Формула для нахождения угла между векторами
Угол (\theta) между двумя векторами (\vec{a}) и (\vec{b}) определяется формулой:
[
\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}
]
где:
- (\vec{a} \cdot \vec{b}) — скалярное произведение векторов,
- (|\vec{a}|), (|\vec{b}|) — модули векторов.
2. Находим скалярное произведение (\vec{mn} \cdot \vec{kp}):
[
(4) \times (7) + (-1) \times (-3) + (2) \times (1) = 4 \times 7 + (-1) \times (-3) + 2 \times 1
]
Вычислим:
[
= 28 + 3 + 2 = 33
]
3. Находим модули векторов:
- Модуль вектора (\vec{mn}):
[
|\vec{mn}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21}
]
- Модуль вектора (\vec{kp}):
[
|\vec{kp}| = \sqrt{7^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 9 + 1} = \sqrt{59}
]
4. Находим косинус угла:
[
\cos{\theta} = \frac{33}{\sqrt{21} \times \sqrt{59}} = \frac{33}{\sqrt{21 \times 59}}
]
Посчитаем подкоренное выражение:
[
21 \times 59 = 1239
]
Следовательно,
[
\cos{\theta} = \frac{33}{\sqrt{1239}}
]
Приблизительно:
[
\sqrt{1239} \approx 35.2
]
Тогда:
[
\cos{\theta} \approx \frac{33}{35.2} \approx 0.9375
]
5. Находим угол (\theta):
[
\theta = \arccos(0.9375)
]
Это приблизительно:
[
\theta \approx 20.4^\circ
]
Ответ:
Угол между векторами mn и kp примерно 20.4 градуса.
