Пусть AB = a, AC = b, D E AC, AD: DC = 1: 3, E BD, BE: ED = 2: 3. Выразите вектор AE через векторы а и b.
Давайте поэтапно решим задачу по выражению вектора \( \vec{AE} \) через векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
Шаг 1. Обозначения и начальные данные
- \( AB = \vec{a} \)
- \( AC = \vec{b} \)
Понимаем, что точка \( A \) — это исходная точка, \( B \) и \( C \) — точки, связанные с \( A \) векторными измерениями.
Дано:
- \( D \) лежит на \( AC \), причём \( AD : DC = 1 : 3 \).
- \( E \) лежит на \( BD \), причём \( BE : ED = 2 : 3 \).
Требуется выразить \( \vec{AE} \) через \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
Шаг 2. Выразить \( D \) через \( A \) и \( C \)
Поскольку \( D \) находится на отрезке \( AC \), делящем его в отношении \( 1:3 \):
\[ \vec{AD} = \frac{1}{1+3} \vec{AC} = \frac{1}{4} \vec{b} \]
то есть,
\[ \vec{D} = \vec{A} + \frac{1}{4} \vec{b} \]
Шаг 3. Определить \( \vec{E} \) на отрезке \( BD \)
Очевидно, что \( B \) — это точка, для которой:
\[ \vec{B} = \vec{A} + \vec{a} \]
Точка \( E \) лежит на отрезке \( B D \) в отношении \( BE : ED = 2 : 3 \). Так как точка делит отрезок в отношении \( 2 : 3 \), то:
\[ \vec{E} = \frac{3}{2+3} \vec{B} + \frac{2}{2+3} \vec{D} = \frac{3}{5} \vec{B} + \frac{2}{5} \vec{D} \]
Подставим найденные выражения:
\[ \vec{E} = \frac{3}{5} (\vec{A} + \vec{a}) + \frac{2}{5} \left( \vec{A} + \frac{1}{4} \vec{b} \right) \]
Шаг 4. Выразить \( \vec{AE} \)
Теперь выразим:
\[ \vec{AE} = \vec{E} - \vec{A} \]
Подставим полученное выражение:
\[ \vec{AE} = \left[ \frac{3}{5} (\vec{A} + \vec{a}) + \frac{2}{5} \left( \vec{A} + \frac{1}{4} \vec{b} \right) \right] - \vec{A} \]
Раскроем скобки:
\[ \vec{AE} = \frac{3}{5} \vec{A} + \frac{3}{5} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{A} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} \vec{b} - \vec{A} \]
Сложим подобные члены:
\[ \vec{AE} = \left( \frac{3}{5} \vec{A} + \frac{2}{5} \vec{A} - \vec{A} \right) + \frac{3}{5} \vec{a} + \frac{2}{20} \vec{b} \]
Объединим:
\[ \left( \frac{3}{5} + \frac{2}{5} - 1 \right) \vec{A} = \left( \frac{5}{5} - 1 \right) \vec{A} = (1 - 1) \vec{A} = 0 \]
Итак, результат упрощается до:
\[ \boxed{ \vec{AE} = \frac{3}{5} \vec{a} + \frac{1}{10} \vec{b} } \]
Итог:
\[ \boxed{ \textbf{Ответ:} \quad \vec{AE} = \frac{3}{5} \vec{a} + \frac{1}{10} \vec{b} } \]
Если есть дополнительные вопросы или нужна иллюстрация — обращайтесь!
