Станок-автомат штампует валики. По выборке объема 100 вычислено выборочное среднее диаметров изготовленных валиков равное 52,1 мм. Найдите с надежностью 0,99 доверительный…

Давайте решим задачу по шагам, чтобы понять, как найти доверительный интервал для математического ожидания.

Дано:

• Размер выборки \( n = 100 \)
• Выборочное среднее \( \bar{x} = 52{,}1 \) мм
• Известное стандартное отклонение \( \sigma = 2 \) мм
• Уровень надежности \( 0{,}99 \)

Шаг 1. Определим уровень значимости \( \alpha \) и критический коэффициент \( z_{\alpha/2} \)

Уровень доверия \( 1 - \alpha = 0{,}99 \)
Тогда \( \alpha = 0{,}01 \)

Согласно стандартным таблицам нормального распределения, критическое значение для \( z_{\alpha/2} \), где \( \alpha/2 = 0{,}005 \), равно примерно:

\[ z_{0.005} \approx 2,576 \]

Поскольку стандартное отклонение известно и равно \( \sigma \), мы используем нормальное распределение, а не t-распределение.

Шаг 2. Построение доверительного интервала

Формула доверительного интервала для среднего при известном \( \sigma \):

\[ \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \quad \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \]

Подставим значения:

\[ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = 0,2 \]

Отсюда:

\[ \text{Левая граница} = 52{,}1 - 2,576 \times 0,2 = 52{,}1 - 0,5152 = 51,5848 \] \[ \text{Правая граница} = 52{,}1 + 2,576 \times 0,2 = 52{,}1 + 0,5152 = 52,6152 \]

Шаг 3. Ответ

Итак, 99%-ный доверительный интервал для математического ожидания диаметров валиков:

\[ (51,5848; \, 52,6152) \]

На вопрос, какую целую часть взять для числа \( t \) (т.е. для критического значения), ответ:

Ответ: 2

Потому что \( z_{0.005} \approx 2,576 \), и целая часть этого числа — 2.

Если нужно, я могу подготовить более краткий ответ или объяснить подробнее!