При проверке качества зёрен пшеницы было установлено, что все зёрна могут быть разделены на 4 группы. К зёрнам первой группы принадлежит 96%, ко второй – 2%, к третьей 1% и к четвёртой – 1% всех зёрен. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зёрен, для семян первой группы равна 0,5, для семян второй группы – 0,2, для семян третьей группы – 0,18 и для семян четвёртой группы – 0,02. Определить вероятность того, что из взятого наудачу зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зёрен.
Давайте пошагово решим задачу.
### Шаг 1. Определение условий задачи
- У нас есть 4 группы зерен, со следующими процентными долями:
- 1-я группа: 96%
- 2-я группа: 2%
- 3-я группа: 1%
- 4-я группа: 1%
- Для каждого типа зерен есть вероятность, что оно даст колос с не менее 50 зернами:
- 1-я группа: 0,5
- 2-я группа: 0,2
- 3-я группа: 0,18
- 4-я группа: 0,02
Нужно найти общую вероятность того, что случайно выбранное зерно даст колос с не менее 50 зернами.
---
### Шаг 2. Использование теории вероятностей
Здесь применим теорию условных и полного вероятностей.
Обозначим:
- \( A_i \) — событие, что выбранное зерно принадлежит \(i\)-й группе.
- \( B \) — событие, что из выбранного зерна вырастет колос с не менее 50 зернами.
Требуемая вероятность — это полная вероятность события \( B \):
\[
P(B) = P(B|A_1) \cdot P(A_1) + P(B|A_2) \cdot P(A_2) + P(B|A_3) \cdot P(A_3) + P(B|A_4) \cdot P(A_4)
\]
где:
- \( P(A_1) = 0{,}96 \),
- \( P(A_2) = 0{,}02 \),
- \( P(A_3) = 0{,}01 \),
- \( P(A_4) = 0{,}01 \).
и известны:
- \( P(B|A_1) = 0{,}5 \),
- \( P(B|A_2) = 0{,}2 \),
- \( P(B|A_3) = 0{,}18 \),
- \( P(B|A_4) = 0{,}02 \).
---
### Шаг 3. Расчет
Подставляем значения:
\[
P(B) = (0{,}5 \times 0{,}96) + (0{,}2 \times 0{,}02) + (0{,}18 \times 0{,}01) + (0{,}02 \times 0{,}01)
\]
Выполняем вычисления по порядку:
- \( 0{,}5 \times 0{,}96 = 0{,}48 \),
- \( 0{,}2 \times 0{,}02 = 0{,}004 \),
- \( 0{,}18 \times 0{,}01 = 0{,}0018 \),
- \( 0{,}02 \times 0{,}01 = 0{,}0002 \).
Теперь суммируем:
\[
P(B) = 0{,}48 + 0{,}004 + 0{,}0018 + 0{,}0002 = 0{,}4862
\]
### Итог:
**Вероятность того, что из выбранного зерна вырастет колос с не менее 50 зёрнами, составляет approximately 0,4862, или 48,62%.**
