Давайте подробно разберём задачу и всё вычислим по шагам.
Исходные данные:
- Вероятность того, что в медведя попал первый охотник: ( P(A_1) = 0.3 )
- Вероятность того, что в медведя попал второй охотник: ( P(A_2) = 0.6 )
- Цель: найти отношение ( P(A_1|B) \times P(A_2|B) ),
где:
- ( B ) — событие, что в медведя попала ровно одна пуля,
- ( A_1 ) — в медведя попал первый охотник,
- ( A_2 ) — в медведя попал второй охотник.
Шаг 1. Определим вероятности событий ( P(B|A_1) ) и ( P(B|A_2) ).
Что значит ( P(B|A_1) )? — вероятность того, что в медведя попала ровно одна пуля, при условии, что первая охотничья пуля попала.
Аналогично для ( P(B|A_2) ).
Шаг 2. Предположим, что попадания у охотников — независимы.
Тогда, исходя из вероятностей, можно предположить:
- Если первый охотник попал, то вероятность, что второй не попал — ( 1 - P(A_2) = 0.4 ),
- Аналогично, если второй попал, вероятность, что первый не попал — ( 1 - P(A_1) = 0.7 ).
Но, по условию, оба охотника выстрелили одновременно и убили медведя одной пулей, то есть за событие ( B ) происходит, что:
- в медведя попала ровно одна пуля.
При этом, события ( A_1 ) и ( A_2 ) — возможны с вероятностями ( 0.3 ) и ( 0.6 ).
Шаг 3. Вероятности ( P(B|A_1) ) и ( P(B|A_2) ).
- Если известно, что первый охотник попал (A_1), то вероятность, что ровно одна пуля — это, что второй не попал:
[
P(B|A_1) = P(\text{второй не попал} | A_1) = 1 - P(A_2) = 0.4
]
- Аналогично, если известно, что второй охотник попал (A_2):
[
P(B|A_2) = P(\text{первый не попал} | A_2) = 1 - P(A_1) = 0.7
]
Шаг 4. Вероятность ( P(B) ) — что ровно одна пуля попала.
Дата: попадание в медведя происходит либо одним охотником, либо другим, либо обоими.
Вероятность, что оба попали:
[
P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2) = 0.3 \times 0.6 = 0.18
]
Вероятность, что только первый попал:
[
P(A_1 \cap A_2^c) = P(A_1) \times (1 - P(A_2)) = 0.3 \times 0.4 = 0.12
]
Вероятность, что только второй попал:
[
P(A_2 \cap A_1^c) = P(A_2) \times (1 - P(A_1)) = 0.6 \times 0.7 = 0.42
]
- Вероятность, что ровно один попал, есть сумма этих двух случаев:
[
P(B) = P(A_1 \cap A_2^c) + P(A_2 \cap A_1^c) = 0.12 + 0.42 = 0.54
]
Шаг 5. Нас интересуют:
[
P(A_1|B) = \frac{P(A_1 \cap B)}{P(B)}
]
[
P(A_2|B) = \frac{P(A_2 \cap B)}{P(B)}
]
Но ( P(A_1 \cap B) ) — это вероятность, что первый попал, а ровно одна пуля попала — это сразу:
[
P(A_1 \cap B) = P(A_1 \cap A_2^c) = 0.12
]
Аналогично:
[
P(A_2 \cap B) = P(A_2 \cap A_1^c) = 0.42
]
Тогда:
[
P(A_1|B) = \frac{0.12}{0.54} = \frac{2}{9} \approx 0.222
]
[
P(A_2|B) = \frac{0.42}{0.54} = \frac{7}{9} \approx 0.778
]
Итог:
[
\boxed{
\textbf{Ответ 1:} \quad P(A_2|B) = \frac{7}{9}
}
]
[
\boxed{
\textbf{Ответ 2:} \quad P(A_1|B) \times P(A_2|B) = \frac{2}{9} \times \frac{7}{9} = \frac{14}{81} \approx 0.1728
}
]
Итоговая ответная часть:
[
\boxed{
P(A_2|B) = \frac{7}{9}
}
]
и
[
\boxed{
P(A_1|B) P(A_2|B) = \frac{14}{81}
}
]
Если нужно, я могу помочь объяснить подробнее каждый шаг.
