Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Первая партия: 4000 штук, каждое 5-е изделие — нестандартное.
- Вторая партия: 6000 штук, каждое 10-е изделие — нестандартное.
- Общее число изделий: 4000 + 6000 = 10000.
- Вероятность выбрать нестандартное изделие на удачу: известно, что выбранное изделие — нестандартное.
Нужно найти:
- Вероятность, что выбранное нестандартное изделие принадлежит первой партии (обозначим это событие — А).
- Вероятность, что оно принадлежит второй партии (обозначим это событие — В).
Шаг 1: Найти вероятность выбрать нестандартное изделие из каждой партии
Из первой партии:
- Количество изделий: 4000.
- Каждое 5-е изделие — нестандартное.
- Каждое 5-е изделие — это 1 одно изделие из 5.
Вероятность выбрать нестандартное изделие из первой партии:
[
P(\text{нестандартное из первой}) = \frac{\textялое число нестандартных изделий в первой партии}{общее число изделий первой партии} = \frac{4000/5}{4000} = \frac{800}{4000} = \frac{1}{5}.
]
Обоснование: всего в первой партии 4000 изделий, каждое пятое — нестандартное, значит всего нестандартных изделий:
[
\frac{4000}{5} = 800.
]
Из второй партии:
- Количество изделий: 6000.
- Каждое 10-е — нестандартное.
- Всего нестандартных вторая партия:
[
\frac{6000}{10} = 600.
]
- Вероятность выбрать нестандартное изделие из второй партии:
[
P(\text{нестандартное из второй}) = \frac{600}{6000} = \frac{1}{10}.
]
Шаг 2: Использовать теорему Байеса для нахождения вероятности принадлежности выбранного изделия к первой партии
Обозначим:
- (A) — событие, что выбранное изделие из первой партии.
- (B) — событие, что выбранное изделие из второй партии.
- (N) — событие, что изделие нестандартное.
Нас интересует:
[
P(A|N),\quad P(B|N).
]
Для этого применим теорему Байеса:
[
P(A|N) = \frac{P(N|A) \cdot P(A)}{P(N)},
]
где:
- (P(N|A)) — вероятность, что изделие нестандартное, при условии, что оно из первой партии.
- (P(A)) — вероятность выбрать изделие из первой партии.
Аналогично:
[
P(B|N) = \frac{P(N|B) \cdot P(B)}{P(N)}.
]
Так как изделие выбирается случайно из всего склада:
[
P(A) = \frac{4000}{10000} = 0.4,
]
[
P(B) = \frac{6000}{10000} = 0.6.
]
Шаг 3: Посчитать (P(N)) — вероятность выбрать нестандартное изделие из всего склада
Общая вероятность выбора нестандартного изделия:
[
P(N) = P(N|A) \cdot P(A) + P(N|B) \cdot P(B).
]
Подставляя:
[
P(N|A) = \frac{1}{5} = 0.2,
]
[
P(N|B) = \frac{1}{10} = 0.1.
]
Тогда:
[
P(N) = 0.2 \times 0.4 + 0.1 \times 0.6 = 0.08 + 0.06 = 0.14.
]
Шаг 4: Найти (P(A|N)) и (P(B|N))
[
P(A|N) = \frac{0.2 \times 0.4}{0.14} = \frac{0.08}{0.14} \approx 0.5714,
]
[
P(B|N) = \frac{0.1 \times 0.6}{0.14} = \frac{0.06}{0.14} \approx 0.4286.
]
Ответ:
- Вероятность, что выбранное нестандартное изделие — из первой партии: приблизительно 57.14%.
- Вероятность, что оно — из второй партии: приблизительно 42.86%.
Если нужны дополнительные объяснения — обращайтесь!
