Найдите точку максимума функции у = (5х-6)e-4x-6.

Давайте подробно разберем задачу — найти точку максимума функции: \[ y = (5x - 6) e^{-4x - 6} \] ### Шаг 1: Понимание задачи Нам нужно найти точку, в которой функция достигает своего максимума, то есть такую точку, где ее производная равна нулю, а кривая переходит из возрастания в убывание. --- ### Шаг 2: Обозначения Обозначим функцию: \[ y = (5x - 6) e^{-4x - 6} \] Обратите внимание, что в экспоненте есть константа "-6". Ее можно вынести за скобки, так как: \[ y = (5x - 6) e^{-6} e^{-4x} \] Но для поиска экстремума лучше оставлять в таком виде, чтобы было проще дифференцировать. --- ### Шаг 3: Берем производную функции Функция — произведение двух выражений: \( u = 5x - 6 \) и \( v = e^{-4x - 6} \). Используем правило дифференцирования произведения: \[ y' = u'v + uv' \] Где: - \( u = 5x - 6 \), тогда \( u' = 5 \) - \( v = e^{-4x - 6} \) Найдем \( v' \): \[ v' = \frac{d}{dx} e^{-4x - 6} \] Так как \( e^{f(x)} \), то: \[ v' = e^{-4x - 6} \cdot \frac{d}{dx} (-4x - 6) = e^{-4x - 6} \cdot (-4) \] Итак, \[ v' = -4 e^{-4x - 6} \] --- ### Шаг 4: Запишем полную производную \[ y' = u'v + uv' = 5 \cdot e^{-4x - 6} + (5x - 6) \cdot (-4) e^{-4x - 6} \] Вынесем общий множитель \( e^{-4x - 6} \): \[ y' = e^{-4x - 6} (5 - 4(5x - 6)) \] Раскроем скобки внутри: \[ y' = e^{-4x - 6} (5 - 20x + 24) \] Объединим подобные члены: \[ y' = e^{-4x - 6} (-20x + 29) \] --- ### Шаг 5: Находим точки экстремума Для этого приравниваем производную к нулю: \[ y' = 0 \] Но экспонента \( e^{-4x - 6} \) никогда не равна нулю, следовательно: \[ -20x + 29 = 0 \] Решаем это уравнение: \[ -20x = -29 \] \[ x = \frac{29}{20} = 1.45 \] --- ### Шаг 6: Проверка типа экстремума Чтобы понять, максимум это или минимум, можно взять вторую производную или оценить знак первой производной слева и справа от точки. 1. В точке \( x = 1.45 \), первая производная равна нулю. 2. Для более точной классификации можно вывести вторую производную или просто проверить знак первой производной: - Возьмем значение чуть меньше и чуть больше 1.45: *При \( x < 1.45 \)* \( -20x + 29 > 0 \) — первая производная положительна, функция возрастает. *При \( x > 1.45 \)* \( -20x + 29 < 0 \) — первая производная отрицательна, функция убывает. Это говорит о том, что в точке \( x = 1.45 \) происходит максимум. --- ### Итог: **Точка максимума функции:** \[ x_{max} = \frac{29}{20} = 1.45 \] Чтобы найти значение функции в этой точке: \[ y(1.45) = (5 \times 1.45 - 6) e^{-4 \times 1.45 - 6} \] Вычисляем: \[ 5 \times 1.45 = 7.25 \] \[ 7.25 - 6 = 1.25 \] Теперь экспоненту: \[ -4 \times 1.45 = -5.8 \] \[ -5.8 - 6 = -11.8 \] Значит, \[ y(1.45) = 1.25 \times e^{-11.8} \] Экспоненциальное выражение очень маленькое, точное значение: \[ e^{-11.8} \approx 7.49 \times 10^{-6} \] Поэтому: \[ y(1.45) \approx 1.25 \times 7.49 \times 10^{-6} \approx 9.36 \times 10^{-6} \] --- ## Итюлюминация: - **Точка максимума по \(x\):** \( \boxed{1.45} \) - **Значение функции в этой точке:** примерно \( \boxed{9.36 \times 10^{-6}} \) Если нужно, я могу помочь с более подробным объяснением или расчетами!