Найдите точку максимума функции у = (5х-6)e-4x-6.
Давайте подробно разберем задачу — найти точку максимума функции:
\[ y = (5x - 6) e^{-4x - 6} \]
Шаг 1: Понимание задачи
Нам нужно найти точку, в которой функция достигает своего максимума, то есть такую точку, где ее производная равна нулю, а кривая переходит из возрастания в убывание.
Шаг 2: Обозначения
Обозначим функцию: \[ y = (5x - 6) e^{-4x - 6} \]
Обратите внимание, что в экспоненте есть константа "-6". Ее можно вынести за скобки, так как:
\[ y = (5x - 6) e^{-6} e^{-4x} \]
Но для поиска экстремума лучше оставлять в таком виде, чтобы было проще дифференцировать.
Шаг 3: Берем производную функции
Функция — произведение двух выражений: \( u = 5x - 6 \) и \( v = e^{-4x - 6} \).
Используем правило дифференцирования произведения:
\[ y' = u'v + uv' \]
Где:
- \( u = 5x - 6 \), тогда \( u' = 5 \)
- \( v = e^{-4x - 6} \)
Найдем \( v' \):
\[ v' = \frac{d}{dx} e^{-4x - 6} \]
Так как \( e^{f(x)} \), то:
\[ v' = e^{-4x - 6} \cdot \frac{d}{dx} (-4x - 6) = e^{-4x - 6} \cdot (-4) \]
Итак,
\[ v' = -4 e^{-4x - 6} \]
Шаг 4: Запишем полную производную
\[ y' = u'v + uv' = 5 \cdot e^{-4x - 6} + (5x - 6) \cdot (-4) e^{-4x - 6} \]
Вынесем общий множитель \( e^{-4x - 6} \):
\[ y' = e^{-4x - 6} (5 - 4(5x - 6)) \]
Раскроем скобки внутри:
\[ y' = e^{-4x - 6} (5 - 20x + 24) \]
Объединим подобные члены:
\[ y' = e^{-4x - 6} (-20x + 29) \]
Шаг 5: Находим точки экстремума
Для этого приравниваем производную к нулю:
\[ y' = 0 \]
Но экспонента \( e^{-4x - 6} \) никогда не равна нулю, следовательно:
\[ -20x + 29 = 0 \]
Решаем это уравнение:
\[ -20x = -29 \]
\[ x = \frac{29}{20} = 1.45 \]
Шаг 6: Проверка типа экстремума
Чтобы понять, максимум это или минимум, можно взять вторую производную или оценить знак первой производной слева и справа от точки.
- В точке \( x = 1.45 \), первая производная равна нулю.
- Для более точной классификации можно вывести вторую производную или просто проверить знак первой производной:
- Возьмем значение чуть меньше и чуть больше 1.45:
При \( x < 1.45 \)
\( -20x + 29 > 0 \) — первая производная положительна, функция возрастает.
При \( x > 1.45 \)
\( -20x + 29 < 0 \) — первая производная отрицательна, функция убывает.
Это говорит о том, что в точке \( x = 1.45 \) происходит максимум.
Итог:
Точка максимума функции:
\[ x_{max} = \frac{29}{20} = 1.45 \]
Чтобы найти значение функции в этой точке:
\[ y(1.45) = (5 \times 1.45 - 6) e^{-4 \times 1.45 - 6} \]
Вычисляем:
\[ 5 \times 1.45 = 7.25 \] \[ 7.25 - 6 = 1.25 \]
Теперь экспоненту:
\[ -4 \times 1.45 = -5.8 \] \[ -5.8 - 6 = -11.8 \]
Значит,
\[ y(1.45) = 1.25 \times e^{-11.8} \]
Экспоненциальное выражение очень маленькое, точное значение:
\[ e^{-11.8} \approx 7.49 \times 10^{-6} \]
Поэтому:
\[ y(1.45) \approx 1.25 \times 7.49 \times 10^{-6} \approx 9.36 \times 10^{-6} \]
Итюлюминация:
- Точка максимума по \(x\): \( \boxed{1.45} \)
- Значение функции в этой точке: примерно \( \boxed{9.36 \times 10^{-6}} \)
Если нужно, я могу помочь с более подробным объяснением или расчетами!
