Sin x=sin пи/8
Рассмотрим задачу: \(\sin x = \sin \frac{\pi}{8}\).
Нам нужно найти все значения \(x\), удовлетворяющие этому уравнению.
Шаг 1: Напоминание о свойствах синуса
Значения функции синуса повторяются с периодом \(2\pi\). Также, \(\sin \alpha = \sin \beta\), если выполняется одно из условий:
- \(\alpha = \beta + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\);
- \(\alpha = \pi - \beta + 2k\pi\).
Это основные свойства, которые мы используем для решения.
Шаг 2: Используем свойства для данного уравнения
Запишем (\(x\) — искомое:
\[ x = \frac{\pi}{8} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \frac{\pi}{8} + 2k\pi \]
где \(k \in \mathbb{Z}\).
Рассмотрим каждое из решений.
Шаг 3: Решение первого уравнения
\[ x = \frac{\pi}{8} + 2k\pi \]
Это означает, что \(x\) равен \(\frac{\pi}{8}\) с добавлением полного периода \(2\pi\), множителем \(k\).
Шаг 4: Решение второго уравнения
\[ x = \pi - \frac{\pi}{8} + 2k\pi \]
Посчитаем \(\pi - \frac{\pi}{8}\):
\[ \pi = \frac{8\pi}{8} \]
Значит:
\[ x = \frac{8\pi}{8} - \frac{\pi}{8} + 2k\pi = \frac{7\pi}{8} + 2k\pi \]
Итог:
Общий ответ:
\[ \boxed{ x = \frac{\pi}{8} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{8} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} } \]
Это все решения уравнения \(\sin x = \sin \frac{\pi}{8}\).
Если нужны дополнительные объяснения или примеры — буду рада помочь!
