Найдите вероятность того, что случайно выбранное натуральное число n , удовлетворяющее условию 297 ≤ n ≤ 549 делится на 69 .
Давайте подробно решим задачу: нужно найти вероятность того, что случайно выбранное натуральное число \( n \), удовлетворяющее условию \( 297 \leq n \leq 549 \), делится на 69.
Шаг 1: Определить множество чисел, удовлетворяющих условию
Общее количество чисел в интервале от 297 до 549 включительно:
\[ N_{всех} = 549 - 297 + 1 = 253 \]
Шаг 2: Найти числа, делящиеся на 69, в этом интервале
Чтобы найти числа, делящиеся на 69, нужно определить минимальное и максимальное число в данном интервале, которые делятся на 69.
Минимальное число, большее или равное 297, делящееся на 69:
Найдём, какое число делится на 69 и не меньше 297. Для этого найдём наибольший общий делитель:
\[ \frac{297}{69} \approx 4.3 \]
Теперь найдём ближайшее меньшее целое число, кратное 69, которое не меньше 297.
- Делим 297 на 69:
\[ 297 \div 69 = 4\text{ (целая часть)}, \text{ остача } 297 - 69 \times 4 = 297 - 276 = 21 \]
Следующее число, делящееся на 69, это:
\[ 69 \times 5 = 345 \]
Проверим, не меньше ли оно 297:
\[ 345 \geq 297 \quad \text{ — да} \]
Значит, минимальное число — \( 345 \).
Максимальное число, не превышающее 549, делящееся на 69:
- Проверим:
\[ 549 \div 69 = 7.9565 \text{ (округлим вниз до 7)}, \text{следовательно} \]
\[ 69 \times 7 = 483 \]
Проверим:
\[ 483 \leq 549 \quad \text{— да} \]
Следующее кратное 69 — \( 69 \times 8 = 552 \), что больше 549, значит, максимум — 483.
Шаг 3: Подсчёт количества чисел, делящихся на 69, в интервале
Кратные 69 в диапазоне от 345 до 483:
\[ \text{числа: } 69 \times 5,\ 69 \times 6,\ 69 \times 7 \]
Общее количество таких чисел:
\[ \text{число} = 7 - 5 + 1 = 3 \]
(или проще посчитать, используя формулу для количества целых чисел: большее кратное — \(69 \times 7\), меньшее — \(69 \times 5\), и включительно их оба).
Шаг 4: Вычисление вероятности
Общая численность возможных случаев — все числа от 297 до 549 (всего 253).
Число благоприятных случаев — числа, делящиеся на 69 — 3.
Вероятность:
\[ P = \frac{\text{число благоприятных случаев}}{\text{общее число случаев}} = \frac{3}{253} \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{3}{253}} \]
Это и есть искомая вероятность.
