Давайте решим задачу пошагово.
Задача: В группе туристов 8 человек, из них выбирают 4 человека случайным образом. Нужно найти вероятность того, что турист Г. (один из группы) попадёт в выбранных для похода в магазин.
Шаг 1: Общее количество способов выбрать 4 человек из 8
Общее количество способов выбрать 4 человека из 8 рассчитывается по формуле сочетаний:
[
C_8^4 = \frac{8!}{4! \times (8-4)!} = \frac{8!}{4! \times 4!}
]
Вычислим:
[
8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!
]
[
C_8^4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times 4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4!}
]
[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
]
Теперь посчитаем числитель:
[
8 \times 7 = 56 \
56 \times 6 = 336 \
336 \times 5 = 1680
]
Тогда:
[
C_8^4 = \frac{1680}{24} = 70
]
Итак, всего способов выбрать 4 человека из 8 — 70.
Шаг 2: Количество благоприятных случаев, когда Г. входит в выбранных
Если Г. обязательно входит в выбранных, то необходимо выбрать оставшихся 3 человек из остальных 7 (так как Г. уже выбран).
Количество способов выбрать 3 из 7 — это:
[
C_7^3 = \frac{7!}{3! \times (7-3)!} = \frac{7!}{3! \times 4!}
]
Вычислим:
[
7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4!
]
[
C_7^3 = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3! \times 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3!}
]
где:
[
3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
]
Посчитаем числитель:
[
7 \times 6 = 42 \
42 \times 5 = 210
]
Теперь:
[
C_7^3 = \frac{210}{6} = 35
]
Итак, есть 35 способов выбрать остальных 3 человек вместе с Г.
Шаг 3: Найдём вероятность
Вероятность того, что Г. пойдёт в магазин, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех исходов:
[
P = \frac{\text{Благоприятные случаи}}{\text{Общее число случаев}} = \frac{C_7^3}{C_8^4} = \frac{35}{70} = \frac{1}{2}
]
Ответ:
Вероятность того, что турист Г. пойдёт в магазин, равна (\boxed{\frac{1}{2}}) или 50%.
