Давайте упростим выражение:
[
\log_{1,25} \log_{10} 10000 + \log_{1,25} \left( \frac{5}{16} \right)
]
Шаг 1: Преобразование логарифмов по основанию 10.
- Переведем (\log_{10} 10000):
[
10000 = 10^4 \Rightarrow \log_{10} 10000 = 4
]
- Тогда выражение становится:
[
\log_{1,25} 4 + \log_{1,25} \left( \frac{5}{16} \right)
]
Шаг 2: Объединение логарифмов по основанию (1,25).
Сумма логарифмов с одним основанием равна логарифму произведения:
[
\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (bc)
]
Тогда:
[
\log_{1,25} \left( 4 \times \frac{5}{16} \right )
]
Посчитаем произведение внутри логарифма:
[
4 \times \frac{5}{16} = \frac{4 \times 5}{16} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}
]
Теперь выражение выглядит так:
[
\log_{1,25} \left( \frac{5}{4} \right)
]
Шаг 3: Переведем основание логарифма (1,25).
[
1,25 = \frac{5}{4}
]
Итак, логарифм запишем так:
[
\log_{(5/4)} \left( \frac{5}{4} \right)
]
По свойствам логарифма — логарифм числа с основанием, равным этому числу, равен 1:
[
\boxed{1}
]
Ответ: 1
Если есть вопросы или нужен более подробный разбор — скажите!
