Упростить выражение

Давайте упростим выражение:

\[ \log_{1,25} \log_{10} 10000 + \log_{1,25} \left( \frac{5}{16} \right) \]

Шаг 1: Преобразование логарифмов по основанию 10.

• Переведем \(\log_{10} 10000\):

\[ 10000 = 10^4 \Rightarrow \log_{10} 10000 = 4 \]

• Тогда выражение становится:

\[ \log_{1,25} 4 + \log_{1,25} \left( \frac{5}{16} \right) \]

Шаг 2: Объединение логарифмов по основанию \(1,25\).

Сумма логарифмов с одним основанием равна логарифму произведения:

\[ \log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (bc) \]

Тогда:

\[ \log_{1,25} \left( 4 \times \frac{5}{16} \right ) \]

Посчитаем произведение внутри логарифма:

\[ 4 \times \frac{5}{16} = \frac{4 \times 5}{16} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4} \]

Теперь выражение выглядит так:

\[ \log_{1,25} \left( \frac{5}{4} \right) \]

Шаг 3: Переведем основание логарифма \(1,25\).

\[ 1,25 = \frac{5}{4} \]

Итак, логарифм запишем так:

\[ \log_{(5/4)} \left( \frac{5}{4} \right) \]

По свойствам логарифма — логарифм числа с основанием, равным этому числу, равен 1:

\[ \boxed{1} \]

Ответ: 1

Если есть вопросы или нужен более подробный разбор — скажите!