B стране Цифра есть 9 городов названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник заметил что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число,…

Рассмотрим задачу подробно.

В стране Цифра есть 9 городов с номерами от 1 до 9.
Между двумя городами соединена авиалиния, если и только если двузначное число, сформированное из номеров этих городов, делится на 3.

Нам нужно определить, можно ли добраться из города 1 до города 9, следуя по маршрутам, возможным по этим правилам.

---

Шаг 1. Определим, когда есть прямое соединение между городами.

Два города с номерами \(a\) и \(b\) (каждый — от 1 до 9) соединены, если число, составленное из цифр \(a\) и \(b\), делится на 3.

Важно: В условии говорится: "двухзначное число, составленное из цифр-названий," — то есть число вида \(10a + b\).

Проверка:
Число \(10a + b\) делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3:

\[ (1 + 0)a + b = a + b \]

но это выражение — не очень корректное, потому что сумма цифр числа \(10a + b\) — это \(a + b\). На самом деле, число \(10a + b\) делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр — \(a + b\), делится на 3.

Вывод:

• Между городами \(a\) и \(b\) есть авиалиния тогда и только тогда, когда \(\,a + b \equiv 0 \pmod{3}\).

---

Шаг 2. Построим граф связей.

Номера городов и возможные связи:

• Город 1 соединён с городами, для которых \(1 + b \equiv 0 \pmod{3}\)

  Проверим:
  \(1 + b \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow b \equiv -1 \equiv 2 \pmod{3}\)

  Значит, город 1 соединён с городами, у которых номер \(b \equiv 2 \pmod{3}\):

  \(\boxed{b=2, 5, 8}\)

• Аналогично для города 9:

  \(9 + b \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow b \equiv 0 - 9 \equiv 0 \pmod{3}\)

  Город 9 соединён с городами, у которых номер \(b\) кратен 3:

  \(\boxed{b=3, 6, 9}\)

---

Шаг 3. Построим связи для всех городов.

Давайте для каждого города определим, с кем он связан, ориентируясь на условие.

• Город 1: соединён с 2, 5, 8

• Город 2: \(2 + b\) должен делиться на 3, → \(b \equiv 1 \pmod{3}\)

  Проверим: \(\,b \equiv 1 \pmod{3}\) — города 1, 4, 7

  Но учитывая, что 1 уже соединён с 2, 5, 8, будем проверять для города 2:

  \(2 + b \equiv 0 \pmod{3}\)

  \(b \equiv 1 \pmod{3}\), то есть 1, 4, 7.

  Город 2 соединён с 1, 4, 7.

• Город 3:

  \(3 + b \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow b \equiv 0 \pmod{3}\)

  города 3, 6, 9

  Соединён с 6 и 9.

• Город 4:

  \(4 + b \equiv 0 \pmod{3}\)

  \(4 \equiv 1 \pmod{3}\)

  Значит:

  \(b \equiv 2 \pmod{3}\) — города 2, 5, 8

  Город 4 соединён с 2, 5, 8.

• Город 5:

  \(5 + b \equiv 0 \pmod{3}\)

  \(5 \equiv 2 \pmod{3}\)

  Тогда:

  \(b \equiv 1 \pmod{3}\) — города 1, 4, 7

• Город 6:

  \(6 + b \equiv 0 \pmod{3}\)

  \(6 \equiv 0 \pmod{3}\)

  Связи с 3, 6, 9, т.к. 6 + b делится на 3, когда \(b \equiv 0 \pmod{3}\)

  Но 6 соединён с 3 и 9.

• Город 7:

  \(7 \equiv 1 \pmod{3}\)

  \(b \equiv 2 \pmod{3}\):

  связи с 2, 5, 8.

• Город 8:

  \(8 \equiv 2 \pmod{3}\)

  \(b \equiv 1 \pmod{3}\):

  связи с 1, 4, 7.

• Город 9:

  \(9 \equiv 0 \pmod{3}\)

  связи с 3, 6, 9

---

Итоговая таблица связей:

Город	Связи
1	2, 5, 8
2	1, 4, 7
3	6, 9
4	2, 5, 8
5	1, 4, 7
6	3, 9
7	2, 5, 8
8	1, 4, 7
9	3, 6, 9

---

Шаг 4. Постройте путь из 1 в 9.

Ища путь по связям:

• Из 1: можем пойти в 2, 5, 8

Допустим, выберем для начала 2.

• Из 2: можем пойти в 1, 4, 7

Переходим в 4.

• Из 4: можем идти в 2, 5, 8

Берём 5.

• Из 5: можем идти в 1, 4, 7

Или в 7, выбираем 7.

• Из 7: связь с 2, 5, 8 (уже были), обратно в 2 или 5 или 8, цикл.

или

Давайте попробуем другой маршрут:

• из 1 в 8, потому что 8 связан с 1,4,7

из 8 в 4 или 7

• Следуем из 8 в 4, затем из 4 в 2 или 5

Далее, чтобы добраться до 9, посмотрим возможные маршруты:

• 3 соединён с 6, 9.
• 6 соединён с 3, 9.

Мы можем попытаться попасть в 3 или 6, чтобы добраться до 9.

Анализируем цикл:

• Вариант: из 1 напрямую или косвенно добраться до 3 или 6.

проверим связанные города:

• 1 связан с 2, 5, 8.

• 2 связан с 1, 4, 7 — ни 3, ни 6.

• 5 связан с 1, 4, 7.

• Чтобы попасть в 3 или 6, нужно дойти через эти маршруты.

Проверим наличие пути:

• из 8 можно идти в 1, 4, 7;
• из 4 — в 2, 5, 8;
• из 2 — в 1, 4, 7;
• из 7 — в 2, 5, 8.

Из этого видно, что из начальной позиции 1 отсутствует соединение напрямую или через цепочку к 3 или 6.

Аналогично, из 5 или 8 — нет путей, ведущих в 3 или 6.

Обратимся к другим вариантам — можно ли попасть в 3 или 6?

Из таблицы:

• 3 и 6 имеют только связи с 6 и 3, 9, соответственно.

Связи по графу указывают, что:

• из 1 нельзя добраться до 3 или 6, поскольку эти города не связаны с городами 1, 2, 4, 5, 7, 8.

• Иными словами, путь из 1 до 9 невозможен, так как:

  • из 1 нельзя попасть в 3 или 6, а эти города соединены с 9.

---

Итог: можно ли добраться из 1 до 9?

Ответ — нет.

Потому что в графе связи из 1 и его ближайших городов отсутствует путь, ведущий через цепочки к городу 9.

---

Ответ:

Нет, добраться из города 1 до города 9 невозможно по этим авиалиниям.