. Электрический нагреватель состоит из трех одинаковых резисторов и подключен к источнику постоянного напряжения. R2 и R3 подсоединены паралельно, а R1последовательно им. Если на…
. Электрический нагреватель состоит из трех одинаковых резисторов и подключен к источнику постоянного напряжения. R2 и R3 подсоединены паралельно, а R1последовательно им. Если на втором ог резисторе R2 за некоторый промежуток времени выделяется количество теплоты Q2= 10 Дж, то за этот же промежуток времени нагревателем выделяется общее количество теплоты Q. равное:
Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- В нагревателе три одинаковых резистора: R1, R2, R3.
- R2 и R3 подключены параллельно.
- R1 соединён последовательно с параллельной группой R2 и R3.
- За некоторый промежуток времени на резисторе R2 выделяется теплота Q₂ = 10 Дж.
- Требуется найти общее количество теплоты Q, выделяемое нагревателем за тот же промежуток времени.
Шаг 1. Понимание схемы соединения
- R2 и R3 параллельно, значит они делят один и тот же напряжение.
- Этот параллельный блок и R1 соединены последовательно, значит весь источник напряжения приложен к цепи, состоящей из R1 последовательно с параллельной группой R2 и R3.
Обозначим:
- Общее напряжение источника: U (не указано явно, так что будем считать, что оно постоянное).
- Для данного промежутка времени:
- Теплота, выделенная R2: Q₂ = 10 Дж.
Шаг 2. Выражение теплоты через мощность и время
Теплота Q, выделенная резистором за время t: \[ Q = P \times t \] где P — мощность, выделяемая резистором.
Поскольку резисторы одинаковые, их сопротивления R одинаковы.
Шаг 3. Мощность каждого резистора
Мощность, выделяемая резистором, при постоянном напряжении U: \[ P = \frac{U^2}{R} \]
- В случае R2 и R3 под подключением к одному и тому же напряжению, мощность по каждому: \[ P_{R2} = \frac{U_{R2}^2}{R} \] \[ P_{R3} = \frac{U_{R3}^2}{R} \]
Но поскольку R2 и R3 параллельно, они делят напряжение, одинаковое для обоих, — обозначим его как Uₚ.
Общее сопротивление параллельной группы: \[ R_п = \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right)^{-1} = \frac{R}{2} \]
Общий ток через параллельные резисторы: \[ I_п = \frac{U_п}{R/2} = \frac{2 U_п}{R} \] Мощность, выделяемая параллельной группой: \[ P_{п} = \frac{U_п^2}{R/2} = 2 \frac{U_п^2}{R} \]
Мощность каждого из R2 и R3: \[ P_{R2} = P_{R3} = \frac{U_п^2}{R} \]
Обратите внимание: из этого видно, что оба резистора получают одинаковое напряжение Uₚ, и их мощность равна \(\frac{U_п^2}{R}\). Тогда теплота на R2 за время t: \[ Q_2 = P_{R2} \times t = \frac{U_п^2}{R} \times t \]
Аналогично, для R3: \[ Q_3 = \frac{U_п^2}{R} \times t \]
Шаг 4. Выясним напряжение на параллельной группе
Зная, что теплота на R2: \[ Q_2 = \frac{U_п^2}{R} \times t = 10\, \text{Дж} \] Отсюда: \[ \frac{U_п^2}{R} \times t = 10 \] => \[ U_п^2 \times t = 10 R \]
Шаг 5. Общая мощность и теплота нагревателя
Общая мощность: \[ P_{общ} = P_{R1} + P_{п} \] где \[ P_{R1} = \frac{U_1^2}{R} \]
И напряжение на R1 — это напряжение источника U, а на параллельной группе — Uₚ, и они соединены последовательно, следовательно: \[ U = U_{R1} + U_п \]
Но поскольку R1 и параллельная группа соединены последовательно, они делят U. Однако у нас только информация о тепловой мощности на R2, и R2 и R3 одинаковые, и их сопротивления одинаковые.
Шаг 6. Вывод о соотношении теплот
Поскольку R2 и R3 одинаковые и подключены параллельно, они получают одинаковое напряжение. Теплота Q₂ зависит от Uₚ.
Общая теплота Q за время t: \[ Q = P_{R1} \times t + P_{R2} \times t + P_{R3} \times t \]
Но P_{R2} = P_{R3} (так как сопротивления равны и напряжение на них одинаковое), посему: \[ Q = P_{R1} \times t + 2 \times P_{R2} \times t \]
Подставляя: \[ Q = \frac{U_{R1}^2}{R} \times t + 2 \times \frac{U_п^2}{R} \times t \]
Шаг 7. Отношение Является ли R1 к Uₚ?
Так как R1 последовательно с параллельной группой R2 и R3, их напряжения связаны:
\[ U = U_{R1} + U_п \]
Объем теплоты Q₂, связанной только с R2: \[ Q_2 = \frac{U_п^2}{R} \times t = 10\, \text{Дж} \]
Общая теплота: \[ Q = \left( \frac{U_{R1}^2}{R} + 2 \frac{U_п^2}{R} \right) \times t \]
Если предположить, что Uₚ и U одинаковы, тогда:
\[ Q = \left( \frac{U_{R1}^2}{R} + 2 \frac{U_п^2}{R} \right) \times t \] и \[ Q_2 = \frac{U_п^2}{R} \times t = 10 \]
\[ Q = \left( \frac{U_{R1}^2}{R} + 2 \times \frac{U_п^2}{R} \right) \times t \]
Но так как R1 соединён последовательно, и \(\ U = U_{R1} + U_п \), без конкретных значений напряжений проще взять, что:
- для R2: теплота = \(Q_2 = \frac{U_п^2}{R} \times t = 10\)
- для R1: теплота \(Q_1 = \frac{U_{R1}^2}{R} \times t\), но это зависит от уровня U_{R1}.
или более важный вывод:
Поскольку все три резистора одинаковые, и R2 + R3 параллельно, мощность в них пропорциональна \(\ U_п^2 \), а на R1 — \(\ U_{R1}^2 \).
Рассмотрим, что так как R2 и R3 одинаковые и выделяют по 10 Дж, а нагревательные мощности пропорциональны квадратам напряжений, то:
\[ Q_2 = 10\, Дж \Rightarrow \frac{U_п^2}{R} \times t = 10 \]
Общая мощность (все три резистора), выделенная за тот же промежуток времени:
\[ Q = \left( \frac{U_{R1}^2}{R} + \frac{U_п^2}{R} + \frac{U_{R3}^2}{R} \right) \times t \]
Но так как R2 и R3 одинаковые и подключены параллельно:
\[ Q_{параллель} = 2 \times 10\, Дж = 20\, Дж \]
Общая теплота:
\[ Q = Q_{R1} + Q_{параллель} \]
При этом напряжения на R2 и R3 одинаковые, а их сопротивления равны R.
Если же предполагается, что напряжение на R1 — то есть на последовательное соединение, они делят общее U, и все резисторы одинаковые, то:
- Теплота на R2 равна 10 Дж
- Весь нагреватель, также будет равен:
\[ Q = 3 \times 10 = 30\, Дж \]
(так как все три одинаковы, и без конкретных принципов раздельного напряжения — по аналогии можно сказать, что теплоты на R1, R2 и R3 равны при одинаковых сопротивлениях и одинаковомы подключении).
**Ответ:
Общее количество теплоты Q = 30 Дж.
Итог:
Если на резисторе R2 выделяется теплота Q₂=10 Дж, то за тот же промежуток времени нагревателем выделяется Q = 30 Дж.
