Решить уравнение через одз

Давайте решим заданное уравнение через одз (отдельные заданные выражения). Полное задание выглядит так:

\[ e) \quad \lg (x^2 + x - 6) - \lg (x + 3) = 3. \]

Объяснение пошаговое:

Шаг 1. Запись уравнения

Имеем:

\[ \lg (x^2 + x - 6) - \lg (x + 3) = 3. \]

Шаг 2. Используем свойства логарифмов

Разность логарифмов равна логарифму частного:

\[ \lg \frac{x^2 + x - 6}{x + 3} = 3. \]

Шаг 3. Переводим логарифмическое уравнение в алгебраическую форму

Поскольку \(\lg A = 3\), то

\[ A = 10^3 = 1000, \]

где \(A = \frac{x^2 + x - 6}{x + 3}\).

Тогда уравнение:

\[ \frac{x^2 + x - 6}{x + 3} = 1000. \]

Шаг 4. Решение рационального уравнения

Переносим

\[ x^2 + x - 6 = 1000 (x + 3). \]

Раскроем скобки слева и справа:

\[ x^2 + x - 6 = 1000x + 3000. \]

Переносим все в левую сторону:

\[ x^2 + x - 6 - 1000x - 3000 = 0, \]

\[ x^2 - 999x - 3006 = 0. \]

Шаг 5. Решение квадратного уравнения

Квадратное уравнение:

\[ x^2 - 999x - 3006 = 0. \]

Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = ( -999 )^2 - 4 \times 1 \times (-3006) = 998001 + 12024 = 1010825. \]

Находим корни:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{999 \pm \sqrt{1010825}}{2}. \]

Шаг 6. Проверка условий области определения

Логарифмы определены только при:

• \(x^2 + x - 6 > 0\),
• \(x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3\).

Проверка выражения:

\[ x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2). \]

Это выражение положительно, когда либо оба множителя положительны, либо оба отрицательны, то есть:

• \(x + 3 > 0\ и\ x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2\),
• или \(x + 3 < 0\ и\ x - 2 < 0 \Rightarrow x < -3\).

Но так как \(\lg (x + 3)\) должен существовать, то обязательно \(x > -3\). Следовательно, область допустимых значений — \(x > 2\).

Также исключаем решения, при которых знаменатель равен нулю — то есть \(x \neq -3\). Но в области допустимых значений \(x > 2\), и это не вызывает проблем.

Шаг 7. Итоговые решения

Один из корней — измерим:

\[ x \approx \frac{999 + \sqrt{1010825}}{2}. \]

И другой:

\[ x \approx \frac{999 - \sqrt{1010825}}{2}. \]

Число \(\sqrt{1010825} \approx 1005.39\), поэтому:

1. Первый корень:

\[ x \approx \frac{999 + 1005.39}{2} \approx \frac{2004.39}{2} \approx 1002.195. \]

2. Второй корень:

\[ x \approx \frac{999 - 1005.39}{2} \approx \frac{-6.39}{2} \approx -3.195, \]

что не входит в область допустимых значений \(x>2\).

Следовательно, единственный допустимый корень:

\[ \boxed{x \approx 1002.195}. \]

Итог:

Ответ:
\[ \boxed{x \approx 1002.19}. \]

Если нужны точные выражения для корней, они будут:

\[ x = \frac{999 \pm \sqrt{1010825}}{2}. \]

Но из-за области определения — принимать можно только \(x \approx 1002.19\).