Решить уравнение через одз

Давайте решим заданное уравнение через одз (отдельные заданные выражения). Полное задание выглядит так: \[ e) \quad \lg (x^2 + x - 6) - \lg (x + 3) = 3. \] Объяснение пошаговое: ### Шаг 1. Запись уравнения Имеем: \[ \lg (x^2 + x - 6) - \lg (x + 3) = 3. \] ### Шаг 2. Используем свойства логарифмов Разность логарифмов равна логарифму частного: \[ \lg \frac{x^2 + x - 6}{x + 3} = 3. \] ### Шаг 3. Переводим логарифмическое уравнение в алгебраическую форму Поскольку \(\lg A = 3\), то \[ A = 10^3 = 1000, \] где \(A = \frac{x^2 + x - 6}{x + 3}\). Тогда уравнение: \[ \frac{x^2 + x - 6}{x + 3} = 1000. \] ### Шаг 4. Решение рационального уравнения Переносим \[ x^2 + x - 6 = 1000 (x + 3). \] Раскроем скобки слева и справа: \[ x^2 + x - 6 = 1000x + 3000. \] Переносим все в левую сторону: \[ x^2 + x - 6 - 1000x - 3000 = 0, \] \[ x^2 - 999x - 3006 = 0. \] ### Шаг 5. Решение квадратного уравнения Квадратное уравнение: \[ x^2 - 999x - 3006 = 0. \] Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = ( -999 )^2 - 4 \times 1 \times (-3006) = 998001 + 12024 = 1010825. \] Находим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{999 \pm \sqrt{1010825}}{2}. \] ### Шаг 6. Проверка условий области определения Логарифмы определены только при: - \(x^2 + x - 6 > 0\), - \(x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3\). Проверка выражения: \[ x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2). \] Это выражение положительно, когда либо оба множителя положительны, либо оба отрицательны, то есть: - \(x + 3 > 0\ и\ x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2\), - или \(x + 3 < 0\ и\ x - 2 < 0 \Rightarrow x < -3\). Но так как \(\lg (x + 3)\) должен существовать, то обязательно \(x > -3\). Следовательно, область допустимых значений — \(x > 2\). Также исключаем решения, при которых знаменатель равен нулю — то есть \(x \neq -3\). Но в области допустимых значений \(x > 2\), и это не вызывает проблем. ### Шаг 7. Итоговые решения Один из корней — измерим: \[ x \approx \frac{999 + \sqrt{1010825}}{2}. \] И другой: \[ x \approx \frac{999 - \sqrt{1010825}}{2}. \] Число \(\sqrt{1010825} \approx 1005.39\), поэтому: 1. Первый корень: \[ x \approx \frac{999 + 1005.39}{2} \approx \frac{2004.39}{2} \approx 1002.195. \] 2. Второй корень: \[ x \approx \frac{999 - 1005.39}{2} \approx \frac{-6.39}{2} \approx -3.195, \] что не входит в область допустимых значений \(x>2\). **Следовательно, единственный допустимый корень:** \[ \boxed{x \approx 1002.195}. \] ### Итог: **Ответ:** \[ \boxed{x \approx 1002.19}. \] Если нужны точные выражения для корней, они будут: \[ x = \frac{999 \pm \sqrt{1010825}}{2}. \] Но из-за области определения — принимать можно только \(x \approx 1002.19\).