4.Колебательный контур излучает электромагнитные волны длиной 1300 м. Определите индуктивность контура, если его емкость 10' пФ,
Давайте решим задачу пошагово, учитывая, что целью является понять механизм решения.
Задача:
Колебательный контур (LC-контур) излучает электромагнитные волны длиной 1300 м. Дано: емкость \( C = 10\,\text{пФ} = 10 \times 10^{-12}\,\text{Ф} \). Нужно найти индуктивность \( L \).
Основное понятие:
В резонансных цепях длина излучаемых волн связана с резонансной частотой контура.
Частота колебаний \( f \) для LC-контур определяется формулой: \[ f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \]
Где:
- \( L \) — индуктивность в Генри,
- \( C \) — емкость в Фарадах.
Также известно, что длина волны \( \lambda \) связана с частотой \( f \) скоростью света \( c \): \[ \lambda = \frac{c}{f} \]
Шаг 1: Выразим частоту \( f \) через длину волны \( \lambda \):
\[ f = \frac{c}{\lambda} \] Где \( c \approx 3 \times 10^8\,\text{м/с} \).
Подставим \( \lambda = 1300\,м \): \[ f = \frac{3 \times 10^8}{1300} \approx 2.3077 \times 10^5\,\text{Гц} \]
Шаг 2: Подставим \( f \) в формулу резонансной частоты и решим для \( L \):
\[ f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \implies \sqrt{LC} = \frac{1}{2\pi f} \]
Отсюда:
\[ L = \frac{1}{(2\pi f)^2 C} \]
Подставляем значения:
- \( f \approx 2.3077 \times 10^5\,\text{Гц} \),
- \( C = 10 \times 10^{-12}\,\text{Ф} \).
Посчитаем:
\[ L = \frac{1}{(2\pi \times 2.3077 \times 10^5)^2 \times 10 \times 10^{-12}} \]
Шаг 3: Расчёт числителя и знаменателя:
- \( 2\pi \approx 6.2832 \),
- \( 2\pi \times 2.3077 \times 10^5 \approx 6.2832 \times 2.3077 \times 10^5 \).
Вычислим:
\[ 6.2832 \times 2.3077 \approx 14.5 \]
Значит:
\[ 2\pi f \approx 14.5 \times 10^5 = 1.45 \times 10^6 \]
Теперь возьмём квадрат:
\[ (1.45 \times 10^{6})^2 = (1.45)^2 \times 10^{12} \approx 2.1025 \times 10^{12} \]
Шаг 4: Финальный расчет:
\[ L = \frac{1}{2.1025 \times 10^{12} \times 10 \times 10^{-12}} = \frac{1}{2.1025 \times 10^{12} \times 10^{-11}} \]
Объединим показатели степени:
\[ 2.1025 \times 10^{12} \times 10^{-11} = 2.1025 \times 10^{(12 - 11)} = 2.1025 \times 10^{1} = 21.025 \]
Следовательно,
\[ L = \frac{1}{21.025} \approx 0.0475\,\text Гн \]
или примерно 47.5 мкГн.
Итог:
Индуктивность контура составляет приблизительно \(\boxed{47.5\,\text{мкГн}}\).
Если есть дополнительные вопросы или нужен более подробный разбор, пожалуйста, скажите!
