Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. Наблюдение ведется в отраженном свете. Расстояние между…

Давайте подробно разберем задачу по расчету расстояния между темными кольцами Ньютона.

Дано:

• Расстояние между вторым и двадцатым темными кольцами: \( l_1 = 4,8\, \text{мм} = 4,8 \times 10^{-3}\, \text{м} \)

• Индексы колец:

  • Первое интервала: \( k_1 = 2 \)
  • Второе интервала: \( k_2 = 20 \)

• Аналогично для другого интервала:

  • \( k'_1 = 3 \)
  • \( k'_2 = 16 \)

Нам нужно найти расстояние \( l_2 \) между третьим и шестнадцатым темными кольцами:

• \( k''_1 = 3 \)
• \( k''_2 = 16 \)

---

Основные формулы для колец Ньютона

Для отражательных колец Ньютона радиус \( r_k \) кольца с порядковым номером \( k \) связан с расстоянием между пластинкой и экраном и длиной волны света. Когда освещение монохроматическим светом идет по нормали и мы наблюдаем в отраженном свете, радиус кольца можно выразить как:

\[ r_k^2 = \frac{\lambda R}{n} \cdot k \]

где:

• \( R \) — радиус кривизны пластинки/стеклянной пластинки,
• \( \lambda \) — длина волны света,
• \( n \) — порядок интервала (номер кольца).

Когда мы измеряем расстояния между кольцами (например, между кольцами \(k\) и \(k + 1\)), то разность их радиусов дает следующее:

\[ \Delta r = r_{k+1} - r_k \]

Площадь образуется, исходя из радиусов, и при этом, учитывая, что:

\[ r_k^2 = \text{пропорционально } k \]

то есть:

\[ r_k^2 = A \cdot k, \]

где \( A = \frac{\lambda R}{n} \) — константа.

Следовательно,

\[ r_k = \sqrt{A \cdot k} \]

и

\[ r_{k+1} - r_k = \sqrt{A(k+1)} - \sqrt{A k} \]

---

Связь между расстоянием между кольцами и их радиусами

При наблюдении в отраженном свет, расстояние между кольцами на экран связано с разностью радиусов:

\[ \Delta l_{k} = L \cdot (r_{k+1} - r_k), \]

где \(L\) — расстояние от пластинки до наблюдателя (экран). Так как \(L\) одинаково, то расстояния между кольцами пропорциональны разности радиусов.

Далее, чтобы вычислять расстояния между кольцами, удобно работать с разностью радиусов, которая для больших \(k\) выражается примерно как:

\[ r_{k+1} - r_k \approx \frac{A}{2 \sqrt{A k}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{A}{k}} \]

или более точно — через изменения:

\[ r_{k+1}^2 - r_k^2 = A, \]

т.е., при переходе от кольца \(k\) к \(k+1\):

\[ r_{k+1}^2 - r_k^2 = A, \]

а разность радиусов:

\[ r_{k+1} - r_k = \frac{A}{r_{k+1} + r_k}. \]

Для наших целей, чтобы найти расстояния между кольцами, проще воспользоваться пропорционной зависимостью: площади, радиусов и интервалов.

---

Рассмотрим пропорцию по интервалам

Значения \(l\), как расстояния между кольцами, пропорциональны разностям радиусов:

\[ l_{k} \propto r_{k+1} - r_k \]

Известная разность расстояний между кольцами для интервала \(k = 2\) и \(k = 20\):

\[ l_1 = 4,8\, \text{мм} \quad \text{между } k=2 \text{ и } k=20, \] и для интервала с \(k' = 3\) и \(k' = 16\), необходимо найти \(l_2\) — расстояние между кольцами с \(k''=3\) и \(k''=16\).

---

Вывод

Поскольку разница между кольцами пропорциональна разности их радиусов, а эти радиусы в свою очередь связаны с \(k\) через квадратный корень, то:

\[ \text{расстояние } l \propto \left( \sqrt{k+1} - \sqrt{k} \right), \] где константа пропорциональности равна \(\sqrt{\lambda R / n} \times L\), которая опережает в обоих случаях и равна, так как параметры одни и те же.

Значит,

\[ \frac{l_1}{\sqrt{k_2+1} - \sqrt{k_2}} \approx \frac{l_2}{\sqrt{16+1} - \sqrt{3}}. \]

Посчитаем числитель и знаменатель

• Для первого интервала:

\[ \sqrt{20+1} - \sqrt{2} = \sqrt{21} - \sqrt{2} \approx 4.583 - 1.414 \approx 3.169 \]

• Для второго интервала, который нужно найти:

\[ \sqrt{16+1} - \sqrt{3} = \sqrt{17} - \sqrt{3} \approx 4.123 - 1.732 \approx 2.391 \]

Теперь находим \( l_2 \):

\[ l_2 = l_1 \times \frac{\sqrt{17} - \sqrt{3}}{\sqrt{21} - \sqrt{2}} \approx 4,8\, \text{мм} \times \frac{2.391}{3.169} \approx 4,8\, \text{мм} \times 0.754 \approx 3,62\, \text{мм} \]

---

Ответ:

\[ \boxed{ l_2 \approx 3,62\, \text{мм} } \]

Это расстояние между третьим и шестнадцатым темными кольцами Ньютона.