1) Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 81 г. Чему равна масса и площадь поверхности шара из того же материала радиусом 5 см?
Давайте поэтапно решим задачу.
Дано:
- Шар 1: диаметр \(d_1 = 3\,см\), радиус \(r_1 = \frac{d_1}{2} = 1.5\,см\)
- Масса этого шара \(m_1 = 81\,г\)
- Шар 2: радиус \(r_2 = 5\,см\), материал тот же, что и у первого шара
Нужно найти:
- Массу второго шара \(m_2\)
- Площадь поверхности второго шара \(S_2\)
Шаг 1: Найти плотность материала (ρ)
Плотность \(ρ\) равна отношению массы к объему.
Объём шара вычисляется по формуле:
\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
Объем первого шара:
\[ V_1 = \frac{4}{3} \pi (1.5)^3 \]
вычислим:
\[ V_1 = \frac{4}{3} \pi \times 3.375 = 4.5 \pi\, \text{см}^3 \]
Масса первого шара:
\[ m_1 = 81\,г \]
Тогда плотность:
\[ \rho = \frac{m_1}{V_1} = \frac{81}{4.5 \pi} = \frac{81}{4.5 \times 3.1416} \approx \frac{81}{14.137} \approx 5.73\,г/\text{см}^3 \]
Шаг 2: Найти массу второго шара \(m_2\)
Объем второго шара:
\[ V_2 = \frac{4}{3} \pi r_2^3 = \frac{4}{3} \pi \times 5^3 = \frac{4}{3} \pi \times 125 = \frac{500}{3} \pi \]
Масса второго шара:
\[ m_2 = \rho V_2 = 5.73 \times \frac{500}{3} \pi \]
Подставим:
\[ m_2 \approx 5.73 \times \frac{500}{3} \times 3.1416 \]
Вычислим:
\[ \frac{500}{3} \approx 166.67 \]
Следовательно:
\[ m_2 \approx 5.73 \times 166.67 \times 3.1416 \]
Сначала умножим:
\[ 166.67 \times 3.1416 \approx 523.6 \]
Теперь:
\[ m_2 \approx 5.73 \times 523.6 \approx 2998\,г \]
Обычно такие задачи предполагают, что масса находится в граммах, следовательно, ответ:
\[ \boxed{ m_2 \approx 3000\,г } \]
Шаг 3: Найти площадь поверхности второго шара \(S_2\)
Площадь поверхности шара:
\[ S = 4 \pi r^2 \]
Для второго шара:
\[ S_2 = 4 \pi \times 5^2 = 4 \pi \times 25 = 100 \pi \]
Преобразуем:
\[ S_2 \approx 100 \times 3.1416 = 314.16\, \text{см}^2 \]
Итог:
- Масса второго шара: приблизительно 3000 г
- Площадь поверхности второго шара: приблизительно 314 см²
Если есть дополнительные вопросы или нужно подробнее — обращайтесь!
