В двух сосудах содержатся растворы уксусной кислоты - в первом сосуде 50%-й раствор, во втором сосуде 25%-й раствор. Из первого сосуда 2 л раствора перелили во второй. Жидкость во…
В двух сосудах содержатся растворы уксусной кислоты - в первом сосуде 50%-й раствор, во втором сосуде 25%-й раствор. Из первого сосуда 2 л раствора перелили во второй. Жидкость во втором сосуде перемешали. Затем из второго сосуда 2 л раствора перелили в первый и также перемешали. После этого концентрация раствора в первом сосуде стала 46 %. Известно, что в первом сосуде первоначально было 10 литров раствора, тогда во втором сосуде было литров. В ответ запишите целое число без единиц измерения.
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждое действие.
Дано:
- В первом сосуде изначально 10 л 50%-й раствор уксусной кислоты.
- Во втором сосуде изначально \( x \) литров 25%-го раствора.
- Переливаем 2 литра из первого сосуда во второй сосуд.
- Перемешиваем.
- затем из второго сосуда переливаем 2 литра обратно в первый сосуд.
- Перемешиваем.
- В итоге концентрация раствора в первом сосуде становится 46%.
- Нужно найти начальный объем во втором сосуде, то есть \( x \).
Шаг 1: Определим начальные количества уксусной кислоты и воды.
Первый сосуд:
- Общий объем: 10 л
- Концентрация: 50%
- Количество уксусной кислоты: \( 10 \times 0.5 = 5 \) л
- Количество воды: \( 10 - 5 = 5 \) л
Второй сосуд:
- Объем: \( x \) л
- Концентрация: 25%
- Количество уксусной кислоты: \( x \times 0.25 = 0.25x \) л
- Количество воды: \( x - 0.25x = 0.75x \) л
Шаг 2: Переливание 2 л из первого сосуда во второй.
Из первого сосуда берутся 2 л раствора, где уксус составляет 50%, значит:
- Уксус: \( 2 \times 0.5 = 1 \) л
- Вода: \( 2 - 1 = 1 \) л
Обновляем количества в сосудах после этого переливания:
Первый сосуд:
- Уксус: \( 5 - 1 = 4 \) л
- Вода: \( 5 - 1 = 4 \) л
- Общий объем: \( 10 - 2 = 8 \) л
Второй сосуд:
- Уксус: \( 0.25x + 1 \)
- Вода: \( 0.75x + 1 \)
- Общий объем: \( x + 2 \)
Шаг 3: Перемешивание во втором сосуде и последующее переливание 2 л из второго сосуда в первый.
Объем уксуса и воды в втором сосуде после первого переливания:
- Уксус: \( 0.25x + 1 \)
- Вода: \( 0.75x + 1 \)
Общий объем: \( x + 2 \)
Концентрация во втором сосуде перед вторым переливом: \[ C_2 = \frac{0.25x + 1}{x + 2} \]
Поскольку раствор перемешан, при вытягивании 2 л из второго сосуда количество уксуса и воды в вытянутом растворе пропорциональны его концентрации.
- Уксус, взятый из второго сосуда: \[ \text{Уксус в 2 л} = 2 \times C_2 = 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} \]
- Вода, взятая из второго сосуда: \[ 2 - \text{уксус} = 2 - 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} \]
После того, как эти 2 л перенесены в первый сосуд, состоящий из 8 л раствора, объемы обновляются.
Шаг 4: Обновляем объемы в первом сосуде после второго переливания.
Первый сосуд:
- До этого: 8 л
- Добавили 2 л раствора из второго сосуда, содержащего уксус и воду
- Итог:
- Уксус: \( 4 + 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} \)
- Вода: \( 4 + 2 - 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} \)
Общий объем в первом сосуде после этого: \( 8 + 2 = 10 \) л.
Шаг 5: Итоговая концентрация в первом сосуде — 46%.
Количество уксусной кислоты в первый сосуд после всех операций: \[ \text{уксус} = 4 + 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} \]
Общий объем в первом сосуде: 10 л.
Концентрация: \[ \frac{4 + 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2}}{10} = 0.46 \]
Шаг 6: Решение уравнения.
Перепишем уравнение:
\[ 4 + 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} = 0.46 \times 10 = 4.6 \]
\[ 4 + 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} = 4.6 \]
Вычитаем 4 из обеих частей:
\[ 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} = 0.6 \]
Делим обе части на 2:
\[ \frac{0.25x + 1}{x + 2} = 0.3 \]
Перепишем уравнение:
\[ 0.25x + 1 = 0.3(x + 2) \]
Раскроем скобки слева и справа:
\[ 0.25x + 1 = 0.3x + 0.6 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 0.25x - 0.3x = 0.6 - 1 \]
\[ -0.05x = -0.4 \]
Делим обе части на -0.05:
\[ x = \frac{-0.4}{-0.05} = 8 \]
Ответ:
Объем во втором сосуде изначально был 8 литров.
Если нужно, я могу еще раз пояснить или проверить вычисления, но результат — 8.
