Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждое действие.
Дано:
- В первом сосуде изначально 10 л 50%-й раствор уксусной кислоты.
- Во втором сосуде изначально ( x ) литров 25%-го раствора.
- Переливаем 2 литра из первого сосуда во второй сосуд.
- Перемешиваем.
- затем из второго сосуда переливаем 2 литра обратно в первый сосуд.
- Перемешиваем.
- В итоге концентрация раствора в первом сосуде становится 46%.
- Нужно найти начальный объем во втором сосуде, то есть ( x ).
Шаг 1: Определим начальные количества уксусной кислоты и воды.
Первый сосуд:
- Общий объем: 10 л
- Концентрация: 50%
- Количество уксусной кислоты: ( 10 \times 0.5 = 5 ) л
- Количество воды: ( 10 - 5 = 5 ) л
Второй сосуд:
- Объем: ( x ) л
- Концентрация: 25%
- Количество уксусной кислоты: ( x \times 0.25 = 0.25x ) л
- Количество воды: ( x - 0.25x = 0.75x ) л
Шаг 2: Переливание 2 л из первого сосуда во второй.
Из первого сосуда берутся 2 л раствора, где уксус составляет 50%, значит:
- Уксус: ( 2 \times 0.5 = 1 ) л
- Вода: ( 2 - 1 = 1 ) л
Обновляем количества в сосудах после этого переливания:
Первый сосуд:
- Уксус: ( 5 - 1 = 4 ) л
- Вода: ( 5 - 1 = 4 ) л
- Общий объем: ( 10 - 2 = 8 ) л
Второй сосуд:
- Уксус: ( 0.25x + 1 )
- Вода: ( 0.75x + 1 )
- Общий объем: ( x + 2 )
Шаг 3: Перемешивание во втором сосуде и последующее переливание 2 л из второго сосуда в первый.
Объем уксуса и воды в втором сосуде после первого переливания:
- Уксус: ( 0.25x + 1 )
- Вода: ( 0.75x + 1 )
Общий объем: ( x + 2 )
Концентрация во втором сосуде перед вторым переливом:
[
C_2 = \frac{0.25x + 1}{x + 2}
]
Поскольку раствор перемешан, при вытягивании 2 л из второго сосуда количество уксуса и воды в вытянутом растворе пропорциональны его концентрации.
- Уксус, взятый из второго сосуда:
[
\text{Уксус в 2 л} = 2 \times C_2 = 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2}
]
- Вода, взятая из второго сосуда:
[
2 - \text{уксус} = 2 - 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2}
]
После того, как эти 2 л перенесены в первый сосуд, состоящий из 8 л раствора, объемы обновляются.
Шаг 4: Обновляем объемы в первом сосуде после второго переливания.
Первый сосуд:
- До этого: 8 л
- Добавили 2 л раствора из второго сосуда, содержащего уксус и воду
- Итог:
- Уксус: ( 4 + 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} )
- Вода: ( 4 + 2 - 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} )
Общий объем в первом сосуде после этого: ( 8 + 2 = 10 ) л.
Шаг 5: Итоговая концентрация в первом сосуде — 46%.
Количество уксусной кислоты в первый сосуд после всех операций:
[
\text{уксус} = 4 + 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2}
]
Общий объем в первом сосуде: 10 л.
Концентрация:
[
\frac{4 + 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2}}{10} = 0.46
]
Шаг 6: Решение уравнения.
Перепишем уравнение:
[
4 + 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} = 0.46 \times 10 = 4.6
]
[
4 + 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} = 4.6
]
Вычитаем 4 из обеих частей:
[
2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} = 0.6
]
Делим обе части на 2:
[
\frac{0.25x + 1}{x + 2} = 0.3
]
Перепишем уравнение:
[
0.25x + 1 = 0.3(x + 2)
]
Раскроем скобки слева и справа:
[
0.25x + 1 = 0.3x + 0.6
]
Переносим все в одну сторону:
[
0.25x - 0.3x = 0.6 - 1
]
[
-0.05x = -0.4
]
Делим обе части на -0.05:
[
x = \frac{-0.4}{-0.05} = 8
]
Ответ:
Объем во втором сосуде изначально был 8 литров.
Если нужно, я могу еще раз пояснить или проверить вычисления, но результат — 8.
