Решить подробно у=-х² 4х у=0 площадь криволинейной трапеции и с графиком

Здравствуйте! Поскольку вы указали задачу: "Решить подробно у=−х², 4х, у=0, площадь криволинейной трапеции и с графиком", я подготовлю для вас подробное решение с объяснениями. --- ### Шаг 1. Анализ задачи Дано: - Графики функций: - \( y = -x^2 \) (парабола, ветви вверх или вниз зависит от знака) - \( y = 4x \) (прямая) - \( y = 0 \) (основная ось x) Нам нужно найти площадь криволинейной трапеции, образованной этими кривыми, и построить соответствующий график. --- ### Шаг 2. Определение области интегрирования Чтобы понять, какая область ограничена, нужно найти точки пересечения функций. **a) Пересечение \( y = -x^2 \) и \( y=4x \):** Решим уравнение: \[ - x^2 = 4x \] \[ - x^2 - 4x = 0 \] \[ x^2 + 4x = 0 \] \[ x(x + 4) = 0 \] \[ x=0 \quad \text{или} \quad x = -4 \] **b) Пересечение \( y=4x \) и \( y=0 \):** \[ 4x=0 \implies x=0 \] **c) Пересечение \( y= -x^2 \) и \( y=0 \):** \[ - x^2=0 \implies x=0 \] Зафиксируем точками пересечения: - \( x=0 \), где \( y=0 \), - \( x=-4 \), где \( y=4(-4)=-16 \). Теперь мы понимаем, что область ограничена кривыми: - снизу — графиком \( y=-x^2 \), - сверху — графиком \( y=4x \), - слева — точкой \( x=-4 \), - справа — точкой \( x=0 \). --- ### Шаг 3. Определение границ области и построение трапеции Область закоординирована между точками \( x=-4 \) и \( x=0 \). В этих точках области: - по оси \( x \), границы: от \( -4 \) до \( 0 \), - по \( y \): - снизу — \( y = -x^2 \), - сверху — \( y=4x \). Итак, криволинейная трапеция — это область между этими двумя кривыми. --- ### Шаг 4. Вычисление площади Площадь области ограничена кривыми. Можно найти площадь, интегрируя разность верхней и нижней функции по \( x \): \[ S = \int_{x=-4}^{0} \left( (вертикальный) \text{верх} - (вертикальный) \text{низ} \right) dx \] \[ S = \int_{-4}^0 \left( 4x - (-x^2) \right) dx = \int_{-4}^0 (4x + x^2) dx \] ### Шаг 5. Вычисление интеграла Раскроем интеграл: \[ S = \int_{-4}^0 (4x + x^2) dx \] Вычислим по частям: \[ S = \left[ 2x^2 + \frac{x^3}{3} \right]_{-4}^{0} \] Подставим границы, сначала \( x=0 \): \[ = \left( 2 \cdot 0^2 + \frac{0^3}{3} \right) - \left( 2 \cdot (-4)^2 + \frac{(-4)^3}{3} \right) \] \[ = 0 - \left( 2 \cdot 16 + \frac{-64}{3} \right) \] \[ = 0 - \left( 32 - \frac{64}{3} \right) \] Общий знаменатель для вычитания: \[ = 0 - \left( \frac{96}{3} - \frac{64}{3} \right) = - \frac{96 - 64}{3} = - \frac{32}{3} \] Следовательно, \[ S = - \left( - \frac{32}{3} \right) = \frac{32}{3} \] ### **Ответ:** **Площадь криволинейной трапеции равна \(\boxed{\frac{32}{3}}\) квадратных единиц.** --- ### Шаг 6. График На графике: - Построены две кривые \( y= -x^2 \) (выступает вниз, ветви влево и вправо), - и прямая \( y=4x \), - между ними отображена заштрихованная область — наша трапеция. Если нужно, я могу помочь вам нарисовать этот график или дать дополнительное описание. --- Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно более подробно что-то объяснить — пишите!