Решить подробно у=-х² 4х у=0 площадь криволинейной трапеции и с графиком
Здравствуйте! Поскольку вы указали задачу: "Решить подробно у=−х², 4х, у=0, площадь криволинейной трапеции и с графиком", я подготовлю для вас подробное решение с объяснениями.
Шаг 1. Анализ задачи
Дано:
- Графики функций:
- \( y = -x^2 \) (парабола, ветви вверх или вниз зависит от знака)
- \( y = 4x \) (прямая)
- \( y = 0 \) (основная ось x)
Нам нужно найти площадь криволинейной трапеции, образованной этими кривыми, и построить соответствующий график.
Шаг 2. Определение области интегрирования
Чтобы понять, какая область ограничена, нужно найти точки пересечения функций.
a) Пересечение \( y = -x^2 \) и \( y=4x \):
Решим уравнение: \[ - x^2 = 4x \] \[ - x^2 - 4x = 0 \] \[ x^2 + 4x = 0 \] \[ x(x + 4) = 0 \] \[ x=0 \quad \text{или} \quad x = -4 \]
b) Пересечение \( y=4x \) и \( y=0 \):
\[ 4x=0 \implies x=0 \]
c) Пересечение \( y= -x^2 \) и \( y=0 \):
\[ - x^2=0 \implies x=0 \]
Зафиксируем точками пересечения:
- \( x=0 \), где \( y=0 \),
- \( x=-4 \), где \( y=4(-4)=-16 \).
Теперь мы понимаем, что область ограничена кривыми:
- снизу — графиком \( y=-x^2 \),
- сверху — графиком \( y=4x \),
- слева — точкой \( x=-4 \),
- справа — точкой \( x=0 \).
Шаг 3. Определение границ области и построение трапеции
Область закоординирована между точками \( x=-4 \) и \( x=0 \). В этих точках области:
по оси \( x \), границы: от \( -4 \) до \( 0 \),
по \( y \):
снизу — \( y = -x^2 \),
сверху — \( y=4x \).
Итак, криволинейная трапеция — это область между этими двумя кривыми.
Шаг 4. Вычисление площади
Площадь области ограничена кривыми. Можно найти площадь, интегрируя разность верхней и нижней функции по \( x \):
\[ S = \int_{x=-4}^{0} \left( (вертикальный) \text{верх} - (вертикальный) \text{низ} \right) dx \] \[ S = \int_{-4}^0 \left( 4x - (-x^2) \right) dx = \int_{-4}^0 (4x + x^2) dx \]
Шаг 5. Вычисление интеграла
Раскроем интеграл:
\[ S = \int_{-4}^0 (4x + x^2) dx \]
Вычислим по частям:
\[ S = \left[ 2x^2 + \frac{x^3}{3} \right]_{-4}^{0} \]
Подставим границы, сначала \( x=0 \):
\[ = \left( 2 \cdot 0^2 + \frac{0^3}{3} \right) - \left( 2 \cdot (-4)^2 + \frac{(-4)^3}{3} \right) \] \[ = 0 - \left( 2 \cdot 16 + \frac{-64}{3} \right) \] \[ = 0 - \left( 32 - \frac{64}{3} \right) \]
Общий знаменатель для вычитания:
\[ = 0 - \left( \frac{96}{3} - \frac{64}{3} \right) = - \frac{96 - 64}{3} = - \frac{32}{3} \]
Следовательно,
\[ S = - \left( - \frac{32}{3} \right) = \frac{32}{3} \]
Ответ:
Площадь криволинейной трапеции равна \(\boxed{\frac{32}{3}}\) квадратных единиц.
Шаг 6. График
На графике:
- Построены две кривые \( y= -x^2 \) (выступает вниз, ветви влево и вправо),
- и прямая \( y=4x \),
- между ними отображена заштрихованная область — наша трапеция.
Если нужно, я могу помочь вам нарисовать этот график или дать дополнительное описание.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно более подробно что-то объяснить — пишите!
