Решить подробно у=-х²+4х у=0 площадь криволинейной трапеции и с графиком

Давайте подробно разобьём задачу "решить у = -х² + 4х, у = 0, найти площадь криволинейной трапеции и её график". --- ### Шаг 1. Определим область, ограниченную кривой и линиями Нам даны две функции: - \( y = -x^2 + 4x \) - \( y = 0 \) Нужно найти область, которая ограничена этими кривой и осью \( y=0 \). --- ### Шаг 2. Найдём точки пересечения Решим уравнение \( -x^2 + 4x = 0 \): \[ -x^2 + 4x = 0 \] \[ x(-x + 4) = 0 \] Значит, решения: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 \] **Точки пересечения:** - в точке \( x=0 \), \( y=0 \) - в точке \( x=4 \), \( y=0 \) --- ### Шаг 3. Построим график функции Функция \( y = -x^2 + 4x \) — это парабола, открытая вниз (коэффициент перед \( x^2 \) отрицательный). **Наиболее важные характеристики:** - Вершина параболы: найдём её координаты. Вертикаль вершины параболы находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} \): \[ a = -1, \quad b=4 \] \[ x_{\text{вершина}} = -\frac{4}{2 \times (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2 \] Подставим \( x=2 \) в функцию: \[ y(2) = - (2)^2 + 4 \times 2 = -4 + 8 = 4 \] **Итак, вершина параболы:** эти координаты: \((2, 4)\). --- ### Шаг 4. Найдём площадь криволинейной трапеции Область ограничена: - снизу — осью \( y=0 \); - сверху — кривой \( y = -x^2 + 4x \); - по границам — точкам \( x=0 \) и \( x=4 \). Площадь определяется интегралом по \( x \) от 0 до 4: \[ S = \int_0^{4} (-x^2 + 4x) \, dx \] Рассчитаем этот интеграл: \[ \int (-x^2 + 4x) dx = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 + C \] Подставим пределы: \[ S = \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2\right]_0^{4} \] Вычислим на верхней границе: \[ x=4: \] \[ -\frac{(4)^3}{3} + 2 \times (4)^2 = -\frac{64}{3} + 2 \times 16 = -\frac{64}{3} + 32 \] Приведем к общему знаменателю: \[ - \frac{64}{3} + \frac{96}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \] На нижней границе (\( x=0 \)) будет 0, так как все слагаемые многочлена обращаются в 0. **Итог:** \[ \boxed{ S = \frac{32}{3} \approx 10.67 } \] --- ### Шаг 5. Итог - **Область**, ограниченная графиком \( y = -x^2 + 4x \) и линией \( y=0 \), — это фигура, ограниченная параболой между \( x=0 \) и \( x=4 \). - **Площадь этой области** равна \(\frac{32}{3}\). --- ### Шаг 6. Построение графика График — это парабола с вершиной в точке \((2,4)\) и пересекающая ось \(x\) в точках \(0\) и \(4\). Она поднимается вверх до вершины и опускается обратно к оси. --- Если нужно, я могу помочь также с построением графика или подробнее объяснить, как его изобразить. --- Если есть вопросы или необходимо что-то дополнительно — скажите!