Решить подробно у=-х²+4х у=0 площадь криволинейной трапеции и с графиком
Давайте подробно разобьём задачу "решить у = -х² + 4х, у = 0, найти площадь криволинейной трапеции и её график".
Шаг 1. Определим область, ограниченную кривой и линиями
Нам даны две функции:
- \( y = -x^2 + 4x \)
- \( y = 0 \)
Нужно найти область, которая ограничена этими кривой и осью \( y=0 \).
Шаг 2. Найдём точки пересечения
Решим уравнение \( -x^2 + 4x = 0 \):
\[ -x^2 + 4x = 0 \] \[ x(-x + 4) = 0 \]
Значит, решения: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 \]
Точки пересечения:
- в точке \( x=0 \), \( y=0 \)
- в точке \( x=4 \), \( y=0 \)
Шаг 3. Построим график функции
Функция \( y = -x^2 + 4x \) — это парабола, открытая вниз (коэффициент перед \( x^2 \) отрицательный).
Наиболее важные характеристики:
- Вершина параболы: найдём её координаты.
Вертикаль вершины параболы находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} \): \[ a = -1, \quad b=4 \] \[ x_{\text{вершина}} = -\frac{4}{2 \times (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2 \]
Подставим \( x=2 \) в функцию: \[ y(2) = - (2)^2 + 4 \times 2 = -4 + 8 = 4 \]
Итак, вершина параболы: эти координаты: \((2, 4)\).
Шаг 4. Найдём площадь криволинейной трапеции
Область ограничена:
- снизу — осью \( y=0 \);
- сверху — кривой \( y = -x^2 + 4x \);
- по границам — точкам \( x=0 \) и \( x=4 \).
Площадь определяется интегралом по \( x \) от 0 до 4:
\[ S = \int_0^{4} (-x^2 + 4x) \, dx \]
Рассчитаем этот интеграл:
\[ \int (-x^2 + 4x) dx = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 + C \]
Подставим пределы:
\[ S = \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2\right]_0^{4} \]
Вычислим на верхней границе:
\[ x=4: \] \[ -\frac{(4)^3}{3} + 2 \times (4)^2 = -\frac{64}{3} + 2 \times 16 = -\frac{64}{3} + 32 \] Приведем к общему знаменателю:
\[ - \frac{64}{3} + \frac{96}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \]
На нижней границе (\( x=0 \)) будет 0, так как все слагаемые многочлена обращаются в 0.
Итог:
\[ \boxed{ S = \frac{32}{3} \approx 10.67 } \]
Шаг 5. Итог
- Область, ограниченная графиком \( y = -x^2 + 4x \) и линией \( y=0 \), — это фигура, ограниченная параболой между \( x=0 \) и \( x=4 \).
- Площадь этой области равна \(\frac{32}{3}\).
Шаг 6. Построение графика
График — это парабола с вершиной в точке \((2,4)\) и пересекающая ось \(x\) в точках \(0\) и \(4\). Она поднимается вверх до вершины и опускается обратно к оси.
Если нужно, я могу помочь также с построением графика или подробнее объяснить, как его изобразить.
Если есть вопросы или необходимо что-то дополнительно — скажите!
