f(x)=4x³+2x²-8x+6 x0=-2

Давайте разберем задачу по функции \( f(x) = 4x^3 + 2x^2 - 8x + 6 \) с точкой \( x_0 = -2 \).

Цель — понять, что происходит с функцией в этой точке (например, найти значение функции, производную, определить монотонность, экстремумы или другие характеристики).

Шаг 1. Находим значение функции в точке \( x_0 = -2 \)

Подставим \( x = -2 \) в выражение функции:

\[ f(-2) = 4(-2)^3 + 2(-2)^2 - 8(-2) + 6 \]

Рассчитываем по частям:

• \( (-2)^3 = -8 \)

• \( 4 \times -8 = -32 \)

• \( (-2)^2 = 4 \)

• \( 2 \times 4 = 8 \)

• \( -8 \times -2 = 16 \)

Теперь собираем всё:

\[ f(-2) = -32 + 8 + 16 + 6 \]

Складываем по очереди:

• \(-32 + 8 = -24\)
• \(-24 + 16 = -8\)
• \(-8 + 6 = -2\)

Ответ: \( f(-2) = -2 \)

Шаг 2. Находим производную функции \( f'(x) \)

Для анализа поведения функции важно найти ее производную:

\[ f(x) = 4x^3 + 2x^2 - 8x + 6 \]

Производная:

\[ f'(x) = 12x^2 + 4x - 8 \]

Шаг 3. Находим значение производной в \( x_0 = -2 \)

\[ f'(-2) = 12(-2)^2 + 4(-2) - 8 \]

Расчет частей:

• \( (-2)^2 = 4 \), значит \( 12 \times 4 = 48 \)
• \( 4 \times -2 = -8 \)

Теперь:

\[ f'(-2) = 48 - 8 - 8 = 48 - 16 = 32 \]

Ответ: \( f'(-2) = 32 \)

Это означает, что в точке \( x = -2 \) функция возрастает, так как производная положительна.

Итог

• Значение функции в точке \( x_0 = -2 \): \(\boxed{-2}\)
• Производная в этой точке: \(\boxed{32}\), значит, функция в этой точке возрастает и в окрестности этого числа.

Если нужно дополнительно найти экстремум или другие характеристики — скажи, я помогу!