Решить уравнения

Давайте по порядку решим каждое уравнение: --- ### 1. \(\sqrt{2x - 17} = 5\) **Шаг 1:** Возьмем в квадрат обе части уравнения, чтобы избавиться от корня: \[ (\sqrt{2x - 17})^2 = 5^2 \] \[ 2x - 17 = 25 \] **Шаг 2:** Решаем полученное уравнение: \[ 2x = 25 + 17 \] \[ 2x = 42 \] **Шаг 3:** Делим обе части на 2: \[ x = \frac{42}{2} = 21 \] **Проверка:** Подставим \(x = 21\) в исходное уравнение: \[ \sqrt{2 \cdot 21 - 17} = \sqrt{42 - 17} = \sqrt{25} = 5 \] Верно. **Ответ:** \(\boxed{x=21}\). --- ### 2. \(\sqrt[3]{x^2 - 33} = -2\) **Шаг 1:** Возьмем кубовые обе части уравнения: \[ (\sqrt[3]{x^2 - 33})^3 = (-2)^3 \] \[ x^2 - 33 = -8 \] **Шаг 2:** Решаем: \[ x^2 = -8 + 33 = 25 \] **Шаг 3:** Находим \(x\): \[ x = \pm \sqrt{25} = \pm 5 \] **Проверка:** Проверим исходное уравнение для обоих значений: - Для \(x=5\): \[ \sqrt[3]{25 - 33} = \sqrt[3]{-8} = -2 \] Верно. - Для \(x=-5\): \[ \sqrt[3]{25 - 33} = \sqrt[3]{-8} = -2 \] Также верно. **Ответ:** \(\boxed{x=5 \text{ или } x=-5}\). --- ### 3. \(\sqrt{2x + 3} = x\) **Шаг 1:** Возьмем в квадрат обе части: \[ (\sqrt{2x + 3})^2 = x^2 \] \[ 2x + 3 = x^2 \] **Шаг 2:** Ведем к уравнению квадратной формы: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] **Шаг 3:** Решим квадратное уравнение по формуле: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \] Находим два решения: - \(x = \frac{2 + 4}{2} = 3\) - \(x = \frac{2 - 4}{2} = -1\) **Шаг 4:** Проверка на удовлетворение исходному уравнению (ведь при взятии квадратов возможны дополнительные решения, которые не подходят): - Для \(x=3\): \[ \sqrt{2 \cdot 3 + 3} = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3 \] что совпадает с \(x=3\). Значит, подходит. - Для \(x=-1\): \[ \sqrt{2 \cdot (-1) + 3} = \sqrt{-2 + 3} = \sqrt{1} = 1 \] Но по условию \(x=-1\), а полученная выражением со знаком корня равна 1. Не совпадает с указанным \(x=-1\). Значит, это решение неподходящее, так как при \(x=-1\) левая часть равна 1, а не \(-1\). **Итог:** допустимое решение — \(x=3\). --- ### 4. \(\sqrt{5 + \sqrt{x} - 1} = 3\) Немного упростим: \[ \sqrt{5 + \sqrt{x} - 1} = 3 \] \[ \sqrt{4 + \sqrt{x}} = 3 \] **Шаг 1:** Возьмем в квадрат: \[ 4 + \sqrt{x} = 9 \] \[ \sqrt{x} = 9 - 4 = 5 \] **Шаг 2:** Возьмем в квадрат оба: \[ x = 5^2 = 25 \] **Проверка:** Подставим обратно: \[ \sqrt{5 + \sqrt{25} - 1} = \sqrt{5 + 5 - 1} = \sqrt{9} = 3 \] Верно. **Ответ:** \(\boxed{x=25}\). --- ### 5. \(\sqrt{8 - 4x} = x + 1\) **Шаг 1:** Возьмем в квадрат обе части: \[ 8 - 4x = (x + 1)^2 \] \[ 8 - 4x = x^2 + 2x + 1 \] **Шаг 2:** Перенесем все в левую сторону: \[ x^2 + 2x + 1 + 4x - 8 = 0 \] \[ x^2 + 6x - 7 = 0 \] **Шаг 3:** Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2} \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} \] \[ x = \frac{-6 \pm 8}{2} \] - \(x = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1\) - \(x = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7\) **Шаг 4:** Проверка: - Для \(x=1\): \[ \sqrt{8 - 4 \cdot 1} = \sqrt{8 - 4} = \sqrt{4} = 2 \] и правая часть \(x+1=2\). Совпадает, решение подходит. - Для \(x=-7\): \[ \sqrt{8 - 4 \cdot (-7)} = \sqrt{8 + 28} = \sqrt{36} = 6 \] а правая часть \(x + 1 = -7 + 1 = -6\). Здесь левая часть равна 6, а правая \(-6\), не совпадают, следовательно, решение \(-7\) недопустимо. **Ответ:** \(x=1\). --- ### Итоговые решения: 1. \(x=21\) 2. \(x=5 \text{ или } x=-5\) 3. \(x=3\) 4. \(x=25\) 5. \(x=1\) Если нужно, я могу помочь с дополнительными пояснениями или решением любой конкретной задачи!