Решить уравнения

Давайте по порядку решим каждое уравнение:

---

1. \(\sqrt{2x - 17} = 5\)

Шаг 1: Возьмем в квадрат обе части уравнения, чтобы избавиться от корня:

\[ (\sqrt{2x - 17})^2 = 5^2 \] \[ 2x - 17 = 25 \]

Шаг 2: Решаем полученное уравнение:

\[ 2x = 25 + 17 \] \[ 2x = 42 \]

Шаг 3: Делим обе части на 2:

\[ x = \frac{42}{2} = 21 \]

Проверка:

Подставим \(x = 21\) в исходное уравнение:

\[ \sqrt{2 \cdot 21 - 17} = \sqrt{42 - 17} = \sqrt{25} = 5 \]

Верно.

Ответ: \(\boxed{x=21}\).

---

2. \(\sqrt[3]{x^2 - 33} = -2\)

Шаг 1: Возьмем кубовые обе части уравнения:

\[ (\sqrt[3]{x^2 - 33})^3 = (-2)^3 \] \[ x^2 - 33 = -8 \]

Шаг 2: Решаем:

\[ x^2 = -8 + 33 = 25 \]

Шаг 3: Находим \(x\):

\[ x = \pm \sqrt{25} = \pm 5 \]

Проверка:

Проверим исходное уравнение для обоих значений:

• Для \(x=5\):

\[ \sqrt[3]{25 - 33} = \sqrt[3]{-8} = -2 \]

Верно.

• Для \(x=-5\):

\[ \sqrt[3]{25 - 33} = \sqrt[3]{-8} = -2 \]

Также верно.

Ответ: \(\boxed{x=5 \text{ или } x=-5}\).

---

3. \(\sqrt{2x + 3} = x\)

Шаг 1: Возьмем в квадрат обе части:

\[ (\sqrt{2x + 3})^2 = x^2 \] \[ 2x + 3 = x^2 \]

Шаг 2: Ведем к уравнению квадратной формы:

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Шаг 3: Решим квадратное уравнение по формуле:

\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \]

\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \]

Находим два решения:

• \(x = \frac{2 + 4}{2} = 3\)
• \(x = \frac{2 - 4}{2} = -1\)

Шаг 4: Проверка на удовлетворение исходному уравнению (ведь при взятии квадратов возможны дополнительные решения, которые не подходят):

• Для \(x=3\):

\[ \sqrt{2 \cdot 3 + 3} = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3 \] что совпадает с \(x=3\). Значит, подходит.

• Для \(x=-1\):

\[ \sqrt{2 \cdot (-1) + 3} = \sqrt{-2 + 3} = \sqrt{1} = 1 \] Но по условию \(x=-1\), а полученная выражением со знаком корня равна 1. Не совпадает с указанным \(x=-1\). Значит, это решение неподходящее, так как при \(x=-1\) левая часть равна 1, а не \(-1\).

Итог: допустимое решение — \(x=3\).

---

4. \(\sqrt{5 + \sqrt{x} - 1} = 3\)

Немного упростим:

\[ \sqrt{5 + \sqrt{x} - 1} = 3 \] \[ \sqrt{4 + \sqrt{x}} = 3 \]

Шаг 1: Возьмем в квадрат:

\[ 4 + \sqrt{x} = 9 \] \[ \sqrt{x} = 9 - 4 = 5 \]

Шаг 2: Возьмем в квадрат оба:

\[ x = 5^2 = 25 \]

Проверка:

Подставим обратно:

\[ \sqrt{5 + \sqrt{25} - 1} = \sqrt{5 + 5 - 1} = \sqrt{9} = 3 \]

Верно.

Ответ: \(\boxed{x=25}\).

---

5. \(\sqrt{8 - 4x} = x + 1\)

Шаг 1: Возьмем в квадрат обе части:

\[ 8 - 4x = (x + 1)^2 \] \[ 8 - 4x = x^2 + 2x + 1 \]

Шаг 2: Перенесем все в левую сторону:

\[ x^2 + 2x + 1 + 4x - 8 = 0 \] \[ x^2 + 6x - 7 = 0 \]

Шаг 3: Решим квадратное уравнение:

\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2} \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} \] \[ x = \frac{-6 \pm 8}{2} \]

• \(x = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1\)

• \(x = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7\)

Шаг 4: Проверка:

• Для \(x=1\):

\[ \sqrt{8 - 4 \cdot 1} = \sqrt{8 - 4} = \sqrt{4} = 2 \] и правая часть \(x+1=2\).

Совпадает, решение подходит.

• Для \(x=-7\):

\[ \sqrt{8 - 4 \cdot (-7)} = \sqrt{8 + 28} = \sqrt{36} = 6 \] а правая часть \(x + 1 = -7 + 1 = -6\).

Здесь левая часть равна 6, а правая \(-6\), не совпадают, следовательно, решение \(-7\) недопустимо.

Ответ: \(x=1\).

---

Итоговые решения:

1. \(x=21\)
2. \(x=5 \text{ или } x=-5\)
3. \(x=3\)
4. \(x=25\)
5. \(x=1\)

Если нужно, я могу помочь с дополнительными пояснениями или решением любой конкретной задачи!