найди чему принадлежит x с помощью интервалов: (x+3)(-x²+3x+4)/x+2>0
Давайте подробно разберем задачу, чтобы понять, чему принадлежит x, используя интервалный анализ.
Задача:
\[ \frac{(x+3)(-x^2 + 3x +4)}{x+2} > 0 \]
Шаг 1. Обозначим выражение
Обозначим числитель и знаменатель:
- Числитель: \( (x+3)(-x^2 + 3x + 4) \)
- Знаменатель: \( x + 2 \)
Мы ищем такие значения \(x\), при которых выражение больше нуля.
Шаг 2. Найдем нули числителя и знаменателя
Знаменатель: \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \)
Это точка разрыва функции, в которой выражение неопределено.
Числитель:
Нулевые точки числителя получим при нулевых значениях каждого множителя:
\( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \)
\( -x^2 + 3x + 4 = 0 \)
Решим квадратное уравнение:
\[ -x^2 + 3x + 4 = 0 \]
Перенесем все в стандартный вид:
\[ -x^2 + 3x + 4 = 0 \]
или умножим на -1 для удобства:
\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
Дискриминант:
\[ D = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25 \]
Корни:
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \]
- \( x = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
- \( x = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
Итак, нули числителя:
\[ x = -3, -1, 4 \]
Шаг 3. Анализ знаков на промежутках
Репрезентируем критические точки:
\[ -3, -2, -1, 4 \]
Области, на которых будем определять знак:
\[
(-\infty, -3), \quad (-3, -2), \quad (-2, -1), \quad (-1, 4), \quad (4, +\infty)
\]
Шаг 4. Определение знаков множителей в интервалах
Рассмотрим каждый интервал и знак каждого множителя:
\( x + 3 \):
- отрицательно при \( x < -3 \),
- равно 0 при \( x = -3 \),
- положительно при \( x > -3 \).
\( -x^2 + 3x + 4 \):
Нули в точках \( x = -1 \) и \( x = 4 \),
Исследуем знак на интервалах:
Для \( x < -1 \): выберем например \( x = -2 \): \[ -(-2)^2 + 3(-2) + 4 = -4 -6 +4 = -6 < 0 \] Значит, на интервале \( (-\infty, -1) \), выражение отрицательное.
Для \( -1 < x < 4 \): например, \( x=0 \): \[ -0 + 0 + 4 = 4 > 0 \] Значит, на интервале \( (-1, 4) \), выражение положительно.
Для \( x > 4 \): например, \( x=5 \): \[ -25 + 15 + 4 = -6 < 0 \] Значит, на интервале \( (4, \infty) \), выражение отрицательное.
\( x + 2 \):
- отрицательно при \( x < -2 \),
- равно 0 при \( x = -2 \),
- положительно при \( x > -2 \).
Шаг 5. Определение знака всего выражения на интервалах
Теперь, для каждого интервала, определим знак:
| Интервал | \(x+3\) | \( -x^2 + 3x +4 \) | \( x+2 \) | Знак числителя | Знак деления | Итоговое знак |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \((-\infty, -3)\) | - | - | - | (-) \(*\) (-) = + | (-) | \(\+\div(-)= - \) |
| \((-3, -2)\) | + | - | - | (+) \(*\) (-) = - | (-) | \(\-\div(-)= +\) |
| \((-2, -1)\) | + | - | + | (+) \(*\) (-) = - | (+) | \(\-\div(+)= -\) |
| \((-1, 4)\) | + | + | + | (+) \(*\) (+) = + | (+) | \(\+\div(+)= +\) |
| \((4, +\infty)\) | + | - | + | (+) \(*\) (-) = - | (+) | \(\-\div(+)= -\) |
Шаг 6. Итоговые решения
Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля (>0):
Из таблицы видно, что:
- Интервал \((-3, -2)\): знак + → подходит.
- Интервал \((-1, 4)\): знак + → подходит.
Учтите, что при \( x = -2 \), выражение не определено (деление на ноль), а при \( x = -3, -1, 4 \) — числитель равен нулю, и условие строго больше нуля, поэтому эти точки исключаются.
Ответ:
\[ \boxed{ x \in (-3, -2) \cup (-1, 4) } \]
Это — значения \(x\), при которых исходное выражение строго больше нуля.
