Найди чему принадлежит x с помощью интервалов: (x+3)(-x²+3x+4)/x+2>0

Давайте подробно разберем задачу, чтобы понять, чему принадлежит x, используя интервалный анализ. Задача: \[ \frac{(x+3)(-x^2 + 3x +4)}{x+2} > 0 \] --- ### Шаг 1. Обозначим выражение Обозначим числитель и знаменатель: - **Числитель:** \( (x+3)(-x^2 + 3x + 4) \) - **Знаменатель:** \( x + 2 \) Мы ищем такие значения \(x\), при которых выражение больше нуля. --- ### Шаг 2. Найдем нули числителя и знаменателя **Знаменатель:** \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \) Это точка разрыва функции, в которой выражение неопределено. **Числитель:** Нулевые точки числителя получим при нулевых значениях каждого множителя: - \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \) - \( -x^2 + 3x + 4 = 0 \) Решим квадратное уравнение: \[ -x^2 + 3x + 4 = 0 \] Перенесем все в стандартный вид: \[ -x^2 + 3x + 4 = 0 \] или умножим на -1 для удобства: \[ x^2 - 3x - 4 = 0 \] Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25 \] Корни: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \] - \( x = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) - \( x = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \) Итак, нули числителя: \[ x = -3, -1, 4 \] --- ### Шаг 3. Анализ знаков на промежутках Репрезентируем критические точки: \[ -3, -2, -1, 4 \] Области, на которых будем определять знак: \[ (-\infty, -3), \quad (-3, -2), \quad (-2, -1), \quad (-1, 4), \quad (4, +\infty) \] --- ### Шаг 4. Определение знаков множителей в интервалах Рассмотрим каждый интервал и знак каждого множителя: 1. \( x + 3 \): - отрицательно при \( x < -3 \), - равно 0 при \( x = -3 \), - положительно при \( x > -3 \). 2. \( -x^2 + 3x + 4 \): - Нули в точках \( x = -1 \) и \( x = 4 \), - Исследуем знак на интервалах: - Для \( x < -1 \): выберем например \( x = -2 \): \[ -(-2)^2 + 3(-2) + 4 = -4 -6 +4 = -6 < 0 \] Значит, на интервале \( (-\infty, -1) \), выражение отрицательное. - Для \( -1 < x < 4 \): например, \( x=0 \): \[ -0 + 0 + 4 = 4 > 0 \] Значит, на интервале \( (-1, 4) \), выражение положительно. - Для \( x > 4 \): например, \( x=5 \): \[ -25 + 15 + 4 = -6 < 0 \] Значит, на интервале \( (4, \infty) \), выражение отрицательное. 3. \( x + 2 \): - отрицательно при \( x < -2 \), - равно 0 при \( x = -2 \), - положительно при \( x > -2 \). --- ### Шаг 5. Определение знака всего выражения на интервалах Теперь, для каждого интервала, определим знак: | Интервал | \(x+3\) | \( -x^2 + 3x +4 \) | \( x+2 \) | Знак числителя | Знак деления | Итоговое знак | |---|---|---|---|---|---|---| | \((-\infty, -3)\) | - | - | - | (-) \(*\) (-) = + | (-) | \(\+\div(-)= - \) | | \((-3, -2)\) | + | - | - | (+) \(*\) (-) = - | (-) | \(\-\div(-)= +\) | | \((-2, -1)\) | + | - | + | (+) \(*\) (-) = - | (+) | \(\-\div(+)= -\) | | \((-1, 4)\) | + | + | + | (+) \(*\) (+) = + | (+) | \(\+\div(+)= +\) | | \((4, +\infty)\) | + | - | + | (+) \(*\) (-) = - | (+) | \(\-\div(+)= -\) | --- ### Шаг 6. Итоговые решения Нам нужно, чтобы выражение было **больше нуля** (>0): Из таблицы видно, что: - Интервал \((-3, -2)\): знак + → подходит. - Интервал \((-1, 4)\): знак + → подходит. Учтите, что при \( x = -2 \), выражение не определено (деление на ноль), а при \( x = -3, -1, 4 \) — числитель равен нулю, и условие строго больше нуля, поэтому эти точки исключаются. --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ x \in (-3, -2) \cup (-1, 4) } \] Это — значения \(x\), при которых исходное выражение строго больше нуля.