Вычислите площадь земли, отведенного под клумбу, периметр которого ограничивают линии у=x-2х-2 и у=-x+2. Выполните чертеж.
Для решения задачи необходимо найти площадь и периметр клумбы, ограниченной линиями у = x - 2 и у = -x + 2, а также выполнить их чертеж. Поскольку в задаче не указаны параметры класса и предмета, я подготовлю подробное решение, подходящее для школы.
Шаг 1: Построение графиков линий
Нам даны два уравнения линий:
- у = x - 2
- у = -x + 2
Эти линии — это прямые с разными наклонами; одна с наклоном 1 (поднимается вверх справа), другая с наклоном -1 (опускается вниз справа).
Шаг 2: Найти точки пересечения линий
Чтобы найти область, ограниченную этими линиями, определим точку их пересечения.
Приравниваем у:
x - 2 = -x + 2
Решим это уравнение:
x - 2 = -x + 2
Сложим x с обеих сторон:
x + x = 2 + 2
2x = 4
x = 2
Подставим x = 2 в любое из уравнений для получения y:
у = 2 - 2 = 0
или у = -2 + 2 = 0
Точка пересечения: (2, 0)
Шаг 3: Определить границы области
Линии пересекаются в точке (2, 0). Так как эти линии — прямые наклонные, они ограничивают область, образующую треугольник.
На графике укажем точки:
- Пересечение линий — (2, 0).
Посмотрим, где эти линии пересекаются с осями:
Для у = x - 2:
при x = 0:
у = 0 - 2 = -2 → точка (0, -2)
при y = 0:
0 = x - 2 → x = 2 (уже есть)
Для у = -x + 2:
при x = 0:
у = -0 + 2 = 2 → точка (0, 2)
при y = 0:
0 = -x + 2 → x = 2 (уже есть)
Область ограничена:
слева — точка (0, 2) (на линии у = -x + 2)
справа — точка (0, -2) (на линии у = x - 2)
снизу — точка пересечения линий (2, 0)
Шаг 4: Построение фигуры
Область — треугольник с вершинами:
A: (0, 2)
B: (0, -2)
C: (2, 0)
Шаг 5: Вычисление площади треугольника
Используем формулу площади по координатам:
\[ S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| \]
Подставим координаты:
\[ x_1=0, y_1=2 \\ x_2=0, y_2=-2 \\ x_3=2, y_3=0 \]
Вычисляем:
\[ S = \frac{1}{2} |0(-2 - 0) + 0(0 - 2) + 2(2 - (-2))| \] \[ = \frac{1}{2} |0 + 0 + 2(4)| \] \[ = \frac{1}{2} |8| = 4 \]
Площадь клумбы: 4 единицы площади.
Шаг 6: Вычисление периметра треугольника
Найдём длины сторон:
- AB: между (0, 2) и (0, -2):
\[ d_{AB} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0 + 4^2} = 4 \]
- AC: между (0, 2) и (2, 0):
\[ d_{AC} = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]
- BC: между (0, -2) и (2, 0):
\[ d_{BC} = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]
Периметр:
\[ P = AB + AC + BC = 4 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4 + 4\sqrt{2} \]
Ответ:
- Площадь земли, отведённой под клумбу: 4 квадратных единицы.
- Периметр клумбы: \( 4 + 4\sqrt{2} \) единиц.
Шаг 7: Чертёж
- Нарисуйте две прямые: у = x - 2, у = -x + 2.
- Отметьте точки пересечения с осями: (0, 2), (0, -2).
- Проведите линии, пересекающиеся в точке (2, 0).
- Заметьте, что эти линии образуют треугольник с вершинами: (0, 2), (0, -2), (2, 0).
Если нужно, я могу помочь вам подготовить аккуратный чертёж или дополнительно объяснить любой шаг!
