В медицинском учреждении каждой медицинской карточке пациента присваивают уникальный идентификатор, состоящий из 23 символов. Для его хранения отведено одинаковое и минимально…
В медицинском учреждении каждой медицинской карточке пациента присваивают уникальный идентификатор, состоящий из 23 символов. Для его хранения отведено одинаковое и минимально возможное целое число байт. При этом используется посимвольное кодирование идентификаторов, все символы кодируются одинаковым и минимально возможным числом бит. Известно, что для хранения 500 000 идентификаторов отведено не более 21 Мбайта памяти. Определите максимальную возможную мощность алфавита, который используется для составления идентификаторов. В ответе запишите только число.
Давайте разберемся с условием и найдем решение по шагам.
Дано:
- Длина идентификатора: 23 символа
- Общий объем памяти для хранения 500 000 идентификаторов: не более 21 Мбайт
- Один идентификатор занимает одинаковое минимально возможное количество байт
- Для хранения каждого символа используется одинаковое минимально возможное число бит
- Все символы кодируются одним и тем же способом (одним кодом)
Задача: определить максимальную мощность алфавита (число возможных символов), из которого составляются идентификаторы.
Шаг 1: Записываем известные параметры
- Количество идентификаторов \( N = 500\,000 \)
- Длина идентификатора \( L = 23 \)
- Максимальный объем памяти \( M \leq 21\, \text{Мбайт} \)
Переведем все в одни единицы измерения, например, байты:
\[ 21\, \text{Мбайт} = 21 \times 2^{20} \text{ байт} = 21 \times 1\,048\,576 = 22\,024\,256 \text{ байт} \]
Шаг 2: Объем памяти на один идентификатор
Общий объем для 500000 идентификаторов:
\[ \text{Объем} = N \times \text{размер одного идентификатора} \]
Пусть размер одного идентификатора — \( S \) байт.
Тогда:
\[ N \times S \leq 22\,024\,256 \]
Следовательно:
\[ S \leq \frac{22\,024\,256}{500\,000} \approx 44.0485 \text{ байт} \]
Поскольку объем одного идентификатора — целое число байт, а минимально возможное — целое число байт, то:
\[ S = 44 \text{ байт} \]
Это минимальная длина в байтах, необходимая для хранения каждого идентификатора.
Шаг 3: Минимальное число бит для хранения одного символа
Общий объем идентификатора \( S \) байт, и он состоит из 23 символов.
Переведем байты в биты:
\[ S \text{ байт} \times 8 = \text{битов в один идентификатор} \]
Для \( S=44 \):
\[ 44 \times 8 = 352 \text{ бит} \]
Объем бит, выделенных на один идентификатор:
\[ 352 \text{ бит} \]
Объем бит, выделенных на один символ идентификатора:
\[ \text{Битов на символ} = \frac{352}{23} \approx 15.304 \text{ бит} \]
Поскольку число бит на символ должно быть целым и минимально возможным, нужно взять:
\[ b = \left\lceil 15.304 \right\rceil = 16 \text{ бит} \]
То есть, каждый символ кодируется 16 битами — минимально возможное целое число бит, не меньшее этого значения.
Шаг 4: Максимальная мощность алфавита
Мощность алфавита \( M \):
\[ M \leq 2^{b} = 2^{16} = 65\,536 \]
Поскольку использовано 16 бит, то максимальное число различных символов — это \( 2^{16} \).
Ответ:
Максимальная возможная мощность алфавита:
\[ \boxed{65536} \]
