Перед вами торт в форме параллелепипеда (кирпича). Разрешается делать разрезы параллельно любой из граней. Какое наименьшее число разрезов нужно сделать, чтобы разделить торт на 2021 кусок?

Задача: Какое минимальное число разрезов нужно сделать, чтобы из одного параллелепипедного торта получить 2021 кусков, если разрезы допускаются только параллельно граням торта? Обоснование и решение: 1. **Понимание задачи:** Мы начинаем с одного целого торта. Каждое разрезание может быть выполнено параллельно одной из граней, и в результате оно делит существующую часть(и) на дополнительные куски. Последовательные разрезы могут разделять каждый существующий кусок, увеличивая их число. 2. **Как увеличивается число кусков при разрезах:** - При 0 разрезах: всего 1 кусок. - При 1 разрезе: максимальное число частей — 2. - При 2 разрезах: максимум — 4 (если разрезы параллельны и не пересекаются внутри одной части и расположены так, чтобы максимально увеличить число частей). - В общем случае: если сделать \(k\) разрезов по одной грани (каждый разрез параллелен предыдущему в той же ориентации), то максимум частей — \(k+1\). **Но!** Можно делать разрезы по разным направлениям (по разным осям). Тогда, если мы можем делать разрезы в трех направлениях (по x, y, z), и делать их последовательно, то максимальное число частей, получаемых при \(a\) разрезах в горизонтальной плоскости, \(b\) — в вертикальной, \(c\) — в глубину, — это: \[ (\text{число частей} ) = (a+1)(b+1)(c+1) \] Это потому, что при разрезах по осям x, y и z мы можем максимально разделить весь объём. 3. **Задача сводится к:** Найти минимальное число разрезов, чтобы получить по крайней мере 2021 кускам, используя разрезы по трем направлениям, с учётом, что каждый разрез делит одну из граней на две части. 4. **Минимизация количества разрезов:** Пусть мы сделаем: - \(a\) разрезов по оси x, - \(b\) — по оси y, - \(c\) — по оси z. Тогда численность кусков будет: \[ (\!a+1)(b+1)(c+1) \geq 2021 \] Общее число разрезов — это \(a + b + c\). Задача: минимизировать сумму \(a + b + c\), при условии, что произведение \((a+1)(b+1)(c+1) \geq 2021\). 5. **Подбор оптимальных значений:** - Начнем с оценки: так как \(2021\) — число около 2000, тогда \((a+1)(b+1)(c+1)\) должно быть чуть больше или равно 2021. - Попытаемся выбрать наиболее сбалансированные множители, чтобы сумма \(a + b + c\) была минимальной. 6. **Разложение 2021:** 2021 — простое число (факториалов нет): \(2021 = 43 \times 47\). Попытка 1: Сделать один из множителей равным примерно \(\sqrt[3]{2021} \approx 12.6\). Тогда ищем три числа \(A = a+1\), \(B = b+1\), \(C = c+1\), так, чтобы: \[ A \times B \times C \geq 2021 \] и минимизировать \(A + B + C - 3\), потому что \(a = A - 1\), и т.д. 7. **Выбор приближенных значений:** - Пусть \(A = 13\), тогда: \[ B \times C \geq \frac{2021}{13} \approx 155.5 \] - Попытка выбрать \(B = 13\), тогда: \[ C \geq \frac{155.5}{13} \approx 12 \] Проверим: \[ A = 13, \quad B = 13, \quad C = 12 \] Произведение: \[ 13 \times 13 \times 12 = 13 \times 156 = 2028 \geq 2021 \] Это подходит! Тогда, соответствующие разрезы: \[ a = A-1 = 12, \quad b = 12, \quad c = 11 \] Общее число разрезов: \[ a + b + c = 12 + 12 + 11 = 35 \] 8. **Проверка, можно ли сделать меньше:** Попытаемся уменьшить сумму, уменьшив хотя бы один из множителей, например, сделать \(A=12\): \[ 12 \times B \times C \ge 2021 \Rightarrow B \times C \ge \frac{2021}{12} \approx 168.4 \] Попытка \(B=13\), \(C=13\): \[ 13 \times 13 \times 12 = 13 \times 156 = 2028 \geq 2021 \] Тогда: \[ a=11, \quad b=12, \quad c=12 \] Сумма — \(11+12+12=35\), то есть такое же количество. Таким образом, лучший вариант — примерно 35 разрезов. 9. **Ответ:** **Наименьшее число разрезов: 35** --- ### Итог: **Минимальное число разрезов, чтобы разделить торт на 2021 кусок, равно 35.** ---