Перед вами торт в форме параллелепипеда (кирпича). Разрешается делать разрезы параллельно любой из граней. Какое наименьшее число разрезов нужно сделать, чтобы разделить торт на…

Задача: Какое минимальное число разрезов нужно сделать, чтобы из одного параллелепипедного торта получить 2021 кусков, если разрезы допускаются только параллельно граням торта?

Обоснование и решение:

1. Понимание задачи: Мы начинаем с одного целого торта. Каждое разрезание может быть выполнено параллельно одной из граней, и в результате оно делит существующую часть(и) на дополнительные куски. Последовательные разрезы могут разделять каждый существующий кусок, увеличивая их число.

2. Как увеличивается число кусков при разрезах:

   • При 0 разрезах: всего 1 кусок.
   • При 1 разрезе: максимальное число частей — 2.
   • При 2 разрезах: максимум — 4 (если разрезы параллельны и не пересекаются внутри одной части и расположены так, чтобы максимально увеличить число частей).
   • В общем случае: если сделать \(k\) разрезов по одной грани (каждый разрез параллелен предыдущему в той же ориентации), то максимум частей — \(k+1\).

   Но! Можно делать разрезы по разным направлениям (по разным осям). Тогда, если мы можем делать разрезы в трех направлениях (по x, y, z), и делать их последовательно, то максимальное число частей, получаемых при \(a\) разрезах в горизонтальной плоскости, \(b\) — в вертикальной, \(c\) — в глубину, — это:

   \[ (\text{число частей} ) = (a+1)(b+1)(c+1) \]

   Это потому, что при разрезах по осям x, y и z мы можем максимально разделить весь объём.

3. Задача сводится к: Найти минимальное число разрезов, чтобы получить по крайней мере 2021 кускам, используя разрезы по трем направлениям, с учётом, что каждый разрез делит одну из граней на две части.

4. Минимизация количества разрезов: Пусть мы сделаем:

   • \(a\) разрезов по оси x,
   • \(b\) — по оси y,
   • \(c\) — по оси z.

   Тогда численность кусков будет:

   \[ (\!a+1)(b+1)(c+1) \geq 2021 \]

   Общее число разрезов — это \(a + b + c\).

   Задача: минимизировать сумму \(a + b + c\), при условии, что произведение \((a+1)(b+1)(c+1) \geq 2021\).

5. Подбор оптимальных значений:

   • Начнем с оценки: так как \(2021\) — число около 2000, тогда \((a+1)(b+1)(c+1)\) должно быть чуть больше или равно 2021.
   • Попытаемся выбрать наиболее сбалансированные множители, чтобы сумма \(a + b + c\) была минимальной.

6. Разложение 2021:

   2021 — простое число (факториалов нет): \(2021 = 43 \times 47\).

   Попытка 1: Сделать один из множителей равным примерно \(\sqrt[3]{2021} \approx 12.6\).

   Тогда ищем три числа \(A = a+1\), \(B = b+1\), \(C = c+1\), так, чтобы: \[ A \times B \times C \geq 2021 \]

   и минимизировать \(A + B + C - 3\), потому что \(a = A - 1\), и т.д.

7. Выбор приближенных значений:

   • Пусть \(A = 13\), тогда: \[ B \times C \geq \frac{2021}{13} \approx 155.5 \]
   • Попытка выбрать \(B = 13\), тогда: \[ C \geq \frac{155.5}{13} \approx 12 \]

   Проверим: \[ A = 13, \quad B = 13, \quad C = 12 \]

   Произведение: \[ 13 \times 13 \times 12 = 13 \times 156 = 2028 \geq 2021 \]

   Это подходит!

   Тогда, соответствующие разрезы:

   \[ a = A-1 = 12, \quad b = 12, \quad c = 11 \]

   Общее число разрезов:

   \[ a + b + c = 12 + 12 + 11 = 35 \]

8. Проверка, можно ли сделать меньше:

   Попытаемся уменьшить сумму, уменьшив хотя бы один из множителей, например, сделать \(A=12\):

   \[ 12 \times B \times C \ge 2021 \Rightarrow B \times C \ge \frac{2021}{12} \approx 168.4 \]

   Попытка \(B=13\), \(C=13\):

   \[ 13 \times 13 \times 12 = 13 \times 156 = 2028 \geq 2021 \]

   Тогда: \[ a=11, \quad b=12, \quad c=12 \]

   Сумма — \(11+12+12=35\), то есть такое же количество.

   Таким образом, лучший вариант — примерно 35 разрезов.

9. Ответ:

   Наименьшее число разрезов: 35

Итог:

Минимальное число разрезов, чтобы разделить торт на 2021 кусок, равно 35.