Давайте решим уравнение:
[
(2 + i)x + (1 + 2i)y = 1 - 4i
]
где (x) и (y) — вещественные числа.
Шаг 1. Разделим уравнение на действительную и мнимую части
Пусть (x, y \in \mathbb{R}). Раскроем скобки:
[
(2 + i)x = 2x + i x
]
[
(1 + 2i)y = y + 2i y
]
Тогда левое выражение — сумма двух комплексных чисел:
[
(2x + y) + i (x + 2 y)
]
Правая часть — это:
[
1 - 4i
]
Шаг 2. Запишем равенство в виде равенства действительных и мнимых частей
Из этого получается система уравнений:
[
\begin{cases}
\text{Действительная часть:} & 2x + y = 1 \
\text{Мнимая часть:} & x + 2 y = -4
\end{cases}
]
Шаг 3. Решим систему линейных уравнений
Первое уравнение:
[
2x + y = 1 \quad (1)
]
Второе уравнение:
[
x + 2 y = -4 \quad (2)
]
Шаг 4. Выразим (y) из уравнения (1):
[
y = 1 - 2x
]
Подставим в уравнение (2):
[
x + 2 (1 - 2x) = -4
]
Раскроем скобки:
[
x + 2 - 4x = -4
]
Объединим подобные:
[
-3x + 2 = -4
]
Выразим (x):
[
-3x = -6 \implies x = 2
]
Теперь найдем (y):
[
y = 1 - 2 \cdot 2 = 1 - 4 = -3
]
Ответ:
[
\boxed{
x = 2, \quad y = -3
}
]
Это — вещественные числа, удовлетворяющие исходному комплексному равенству.
