Найти вещественные числа, удовлетворяющие уравнению: (2+i)x + (1+2i)y = 1-4i
Давайте решим уравнение:
\[ (2 + i)x + (1 + 2i)y = 1 - 4i \]
где \(x\) и \(y\) — вещественные числа.
Шаг 1. Разделим уравнение на действительную и мнимую части
Пусть \(x, y \in \mathbb{R}\). Раскроем скобки:
\[ (2 + i)x = 2x + i x \] \[ (1 + 2i)y = y + 2i y \]
Тогда левое выражение — сумма двух комплексных чисел:
\[ (2x + y) + i (x + 2 y) \]
Правая часть — это:
\[ 1 - 4i \]
Шаг 2. Запишем равенство в виде равенства действительных и мнимых частей
Из этого получается система уравнений:
\[ \begin{cases} \text{Действительная часть:} & 2x + y = 1 \\ \text{Мнимая часть:} & x + 2 y = -4 \end{cases} \]
Шаг 3. Решим систему линейных уравнений
Первое уравнение:
\[ 2x + y = 1 \quad (1) \]
Второе уравнение:
\[ x + 2 y = -4 \quad (2) \]
Шаг 4. Выразим \(y\) из уравнения (1):
\[ y = 1 - 2x \]
Подставим в уравнение (2):
\[ x + 2 (1 - 2x) = -4 \]
Раскроем скобки:
\[ x + 2 - 4x = -4 \]
Объединим подобные:
\[ -3x + 2 = -4 \]
Выразим \(x\):
\[ -3x = -6 \implies x = 2 \]
Теперь найдем \(y\):
\[ y = 1 - 2 \cdot 2 = 1 - 4 = -3 \]
Ответ:
\[ \boxed{ x = 2, \quad y = -3 } \]
Это — вещественные числа, удовлетворяющие исходному комплексному равенству.
