Давайте разберем задачу подробно.
Дано:
- В прошлом радиус Земли: ( R_{старое} = 6000 \text{ км} )
- Сейчас радиус Земли: ( R_{новое} = 6400 \text{ км} )
- Масса Земли практически не изменилась: ( M \approx \text{const} )
Нам нужно найти:
- Во сколько раз возрос за это время момент инерции Земли.
- Во сколько раз увеличилась продолжительность суток.
1. Момент инерции Земли
Формула момента инерции для шара:
[
I = \frac{2}{5} M R^{2}
]
Поскольку масса практически не меняется, отношение новых и старых моментов инерции равно:
[
\frac{I_{новое}}{I_{старое}} = \frac{\frac{2}{5} M R_{новое}^{2}}{\frac{2}{5} M R_{старое}^{2}} = \left(\frac{R_{новое}}{R_{старое}}\right)^2
]
Подставляем значения:
[
\frac{I_{новое}}{I_{старое}} = \left(\frac{6400}{6000}\right)^2 = \left(\frac{64}{60}\right)^2 = \left(\frac{16}{15}\right)^2 = \frac{256}{225} \approx 1,139
]
Ответ: Момент инерции увеличился примерно в 1,139 раз.
2. Продолжительность суток
Деформация rotation speed связана с законом сохранения углового момента:
[
I_{старое} \omega_{старое} = I_{новое} \omega_{новое}
]
где:
- (\omega) — угловая скорость,
- (T = \frac{2\pi}{\omega}) — длительность суток.
Поскольку:
[
\frac{I_{старое}}{I_{новое}} = \frac{\omega_{новое}}{\omega_{старое}}
]
или
[
\frac{\omega_{новое}}{\omega_{старое}} = \frac{I_{старое}}{I_{новое}}
]
Следовательно, продолжительность суток:
[
T = \frac{2\pi}{\omega}
]
увеличивается прямо пропорционально обратно угловой скорости:
[
\frac{T_{новое}}{T_{старое}} = \frac{\omega_{старое}}{\omega_{новое}} = \frac{I_{новое}}{I_{старое}} \approx 1,139
]
Ответ: Продолжительность суток увеличилась примерно в 1,139 раза.
Итог:
- Момент инерции увеличился примерно в 1,139 раз.
- Продолжительность суток увеличилась примерно в 1,139 раз.
Если есть еще вопросы, — обращайтесь!
