Давайте решим двойное неравенство:
[2,4 \leq |x - 4| < 7]
Шаг 1. Вспомним свойства модуля:
Модуль числа (|x - 4|) — это расстояние числа (x) до числа 4 на числовой оси.
Значит, данное неравенство говорит, что расстояние от (x) до 4 находится в диапазоне от 2.4 до 7 (не включая 7).
Шаг 2. Разобьём неравенство на два:
[
2,4 \leq |x - 4| < 7
]
Это означает:
[
|x - 4| \geq 2,4 \quad \text{и} \quad |x - 4| < 7
]
Рассмотрим каждую часть отдельно.
Шаг 3. Решим двойное неравенство (2,4 \leq |x - 4|).
Это верно, когда:
[
|x - 4| \geq 2,4
]
Значит, расстояние (x) до 4 равно или больше 2,4, что разбивается на два случая:
[
x - 4 \geq 2,4 \quad \text{или} \quad x - 4 \leq -2,4
]
Посчитаем:
[
x \geq 4 + 2,4 = 6,4
]
или
[
x \leq 4 - 2,4 = 1,6
]
Шаг 4. Решим неравенство (|x - 4| < 7).
Это значит:
[
-7 < x - 4 < 7
]
Добавим 4 ко всем частям:
[
-7 + 4 < x < 7 + 4
]
[
-3 < x < 11
]
Шаг 5. Объединим оба условия:
- (x \leq 1,6) или (x \geq 6,4) (из первого)
- И (-3 < x < 11) (из второго)
Рассмотрим два диапазона:
Тогда для (x \leq 1,6), учитываем, что (x > -3), так как неравенство строгое.
[
-3 < x \leq 1,6
]
Для (x \geq 6,4), учитываем, что (x < 11).
[
6,4 \leq x < 11
]
Объединяем полученные диапазоны:
[
(-3, 1,6] \cup [6,4, 11)
]
Шаг 6. Найдём все целые числа, которые удовлетворяют этим интервалам:
В диапазоне ((-3, 1,6]), целые числа:
[x = -2, -1, 0, 1]
В диапазоне ([6,4, 11)), целые числа:
[x = 7, 8, 9, 10]
(Обратите внимание, что (6,4) не включается, поэтому целое число 6 не входит в решение.)
Ответ:
Множество целых чисел решений:
[\boxed{-2, -1, 0, 1, 7, 8, 9, 10}]
Если есть дополнительные вопросы — спрашивайте!
