В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 стороны основания АВ — 2 и ВС = 9, а высота AA1= 6. Найдите угол между прямыми A1D и BD1.

Давайте разберемся с задачей пошагово и подробно. **Дано:** - Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ - Основание ABCD является прямоугольным (так как в условии говорится о прямоугольном параллелепипеде, и стороны основания перпендикулярны друг другу) - Размеры основания: - AB = 2 - ВС = 9 - Высота: AA₁ = 6 Задача: найти угол между двумя прямыми: **A₁D** и **BD₁**. --- ### Шаг 1. Визуализация и координатная система Для удобства, введем систему координат: - Пусть точка A находится в начале координат: \(A(0,0,0)\). - Тогда: - D расположена на оси x в точке \(D(2,0,0)\), так как AB = 2. - B — на оси y, в точке \(B(0,9,0)\), так как BC = 9. - C — по диагонали от A: - \(C(2,9,0)\), так как от A идем вправо (по x) на 2 и вверх (по y) на 9. - Высота: \(A_1\) находится на высоте 6: - \(A_1(0,0,6)\) - Аналогично, \(D_1(2,0,6)\), \(B_1(0,9,6)\), \(C_1(2,9,6)\). --- ### Шаг 2. Координаты искомых точек Нам нужны: - прямой \(A_1D\) - прямой \(BD_1\) **Точка A₁:** \((0,0,6)\) **Точка D:** \((2,0,0)\) **Точка B:** \((0,9,0)\) **Точка D₁:** \((2,0,6)\) --- ### Шаг 3. Векторные представления прямых - \(\vec{A_1D} = D - A_1 = (2,0,0) - (0,0,6) = (2, 0, -6)\) - \(\vec{BD_1} = D_1 - B = (2, 0, 6) - (0, 9, 0) = (2, -9, 6)\) --- ### Шаг 4. Вычисление скалярного произведения и модулей векторов - Скалярное произведение: \[ \vec{A_1D} \cdot \vec{BD_1} = (2)(2) + (0)(-9) + (-6)(6) = 4 + 0 -36 = -32 \] - Модуль \(\vec{A_1D}\): \[ |\vec{A_1D}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 0 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] - Модуль \(\vec{BD_1}\): \[ |\vec{BD_1}| = \sqrt{(2)^2 + (-9)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 81 + 36} = \sqrt{121} = 11 \] --- ### Шаг 5. Вычисление угла между прямыми Формула для косинуса угла \(\theta\) между двумя векторами: \[ \cos \theta = \frac{\vec{A_1D} \cdot \vec{BD_1}}{|\vec{A_1D}||\vec{BD_1}|} \] Подставим значения: \[ \cos \theta = \frac{-32}{(2\sqrt{10}) \times 11} = \frac{-32}{22 \sqrt{10}} \] Упростим: \[ \cos \theta = \frac{-32}{22 \sqrt{10}} = -\frac{16}{11 \sqrt{10}} \] ### Итог: \[ \boxed{ \theta = \arccos \left( -\frac{16}{11 \sqrt{10}} \right) } \] --- ### **Ответ:** **Угол между прямыми A₁D и BD₁** равен \(\arccos \left( -\frac{16}{11 \sqrt{10}}\right)\). Это числовое значение можно оставить в виде арккосинуса или приблизительно посчитать. Например: \[ \frac{16}{11 \sqrt{10}} \approx \frac{16}{11 \times 3.162} \approx \frac{16}{34.78} \approx 0.460 \] Так как знак отрицательный, угол будет больше 90°, приблизительно: \[ \theta \approx \arccos(-0.460) \approx 117.3^\circ \] --- Если нужно точное или приближённое числовое значение — скажите!