В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 стороны основания АВ — 2 и ВС = 9, а высота AA1= 6. Найдите угол между прямыми A1D и BD1.

Давайте разберемся с задачей пошагово и подробно.

Дано:

• Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁
• Основание ABCD является прямоугольным (так как в условии говорится о прямоугольном параллелепипеде, и стороны основания перпендикулярны друг другу)
• Размеры основания:
  • AB = 2
  • ВС = 9
• Высота: AA₁ = 6

Задача: найти угол между двумя прямыми: A₁D и BD₁.

Шаг 1. Визуализация и координатная система

Для удобства, введем систему координат:

• Пусть точка A находится в начале координат: \(A(0,0,0)\).
• Тогда:
  • D расположена на оси x в точке \(D(2,0,0)\), так как AB = 2.
  • B — на оси y, в точке \(B(0,9,0)\), так как BC = 9.
  • C — по диагонали от A:
    • \(C(2,9,0)\), так как от A идем вправо (по x) на 2 и вверх (по y) на 9.
• Высота: \(A_1\) находится на высоте 6:
  • \(A_1(0,0,6)\)
  • Аналогично, \(D_1(2,0,6)\), \(B_1(0,9,6)\), \(C_1(2,9,6)\).

Шаг 2. Координаты искомых точек

Нам нужны:

• прямой \(A_1D\)
• прямой \(BD_1\)

Точка A₁: \((0,0,6)\)
Точка D: \((2,0,0)\)
Точка B: \((0,9,0)\)
Точка D₁: \((2,0,6)\)

Шаг 3. Векторные представления прямых

• \(\vec{A_1D} = D - A_1 = (2,0,0) - (0,0,6) = (2, 0, -6)\)
• \(\vec{BD_1} = D_1 - B = (2, 0, 6) - (0, 9, 0) = (2, -9, 6)\)

Шаг 4. Вычисление скалярного произведения и модулей векторов

• Скалярное произведение: \[ \vec{A_1D} \cdot \vec{BD_1} = (2)(2) + (0)(-9) + (-6)(6) = 4 + 0 -36 = -32 \]
• Модуль \(\vec{A_1D}\): \[ |\vec{A_1D}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 0 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]
• Модуль \(\vec{BD_1}\): \[ |\vec{BD_1}| = \sqrt{(2)^2 + (-9)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 81 + 36} = \sqrt{121} = 11 \]

Шаг 5. Вычисление угла между прямыми

Формула для косинуса угла \(\theta\) между двумя векторами: \[ \cos \theta = \frac{\vec{A_1D} \cdot \vec{BD_1}}{|\vec{A_1D}||\vec{BD_1}|} \]

Подставим значения: \[ \cos \theta = \frac{-32}{(2\sqrt{10}) \times 11} = \frac{-32}{22 \sqrt{10}} \]

Упростим: \[ \cos \theta = \frac{-32}{22 \sqrt{10}} = -\frac{16}{11 \sqrt{10}} \]

Итог:

\[ \boxed{ \theta = \arccos \left( -\frac{16}{11 \sqrt{10}} \right) } \]

Ответ:

Угол между прямыми A₁D и BD₁ равен \(\arccos \left( -\frac{16}{11 \sqrt{10}}\right)\).

Это числовое значение можно оставить в виде арккосинуса или приблизительно посчитать. Например:

\[ \frac{16}{11 \sqrt{10}} \approx \frac{16}{11 \times 3.162} \approx \frac{16}{34.78} \approx 0.460 \]

Так как знак отрицательный, угол будет больше 90°, приблизительно:

\[ \theta \approx \arccos(-0.460) \approx 117.3^\circ \]

Если нужно точное или приближённое числовое значение — скажите!