Давайте решим уравнение:
[1 - \cos 6x = \sin^2 3x.]
Шаг 1: Использование триггономических тождеств
Обратим внимание, что в правой части у нас (\sin^2 3x). Можно выразить (\sin^2 3x) через косинус, используя тождество:
[
\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}.
]
Значит:
[
\sin^2 3x = \frac{1 - \cos 6x}{2}.
]
Шаг 2: Записать уравнение через эти тождества
Подставим это в исходное уравнение:
[
1 - \cos 6x = \frac{1 - \cos 6x}{2}.
]
Шаг 3: Решить полученное уравнение
Перенесем все в левую сторону:
[
1 - \cos 6x - \frac{1 - \cos 6x}{2} = 0.
]
Обозначим для удобства (A = 1 - \cos 6x). Тогда уравнение выглядит так:
[
A - \frac{A}{2} = 0,
]
что равносильно:
[
\frac{2A - A}{2} = 0 \Rightarrow \frac{A}{2} = 0,
]
следовательно:
[
A = 0.
]
Вернемся к исходной переменной:
[
1 - \cos 6x = 0,
]
или
[
\cos 6x = 1.
]
Шаг 4: Решить уравнение (\cos 6x = 1)
Известно, что (\cos \theta = 1), если (\theta = 2\pi k), где (k \in \mathbb{Z}). Тогда:
[
6x = 2\pi k,
]
[
x = \frac{\pi k}{3}.
]
Итог:
Общее решение:
[
\boxed{
x = \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}.
}
]
Это все решения, при которых исходное уравнение выполняется.
