Давайте по шагам решим задачу, исходя из предоставленных данных.
Исходные данные:
| Возраст студентов, лет |
Число студентов |
| 17 |
20 |
| 18 |
80 |
| 19 |
90 |
| 20 |
110 |
| 21 |
130 |
| 22 |
170 |
| 23 |
90 |
| 24 |
60 |
Общее число студентов — 750 (предоставлено в условии).
1. Расчет размаха вариации (Range)
Определение:
Размах — разница между максимальным и минимальным значением в выборке.
Максимальный возраст: 24
Минимальный возраст: 17
Размах:
[
R = 24 - 17 = 7
]
Ответ (а): 7
2. Расчет среднего арифметического (\bar{x})
Формула:
[
\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{\sum n_i}
]
Где
(x_i) — возраст,
(n_i) — число студентов каждого возраста.
Вычислим сумму по формуле:
[
\sum (x_i \cdot n_i) = 17 \times 20 + 18 \times 80 + 19 \times 90 + 20 \times 110 + 21 \times 130 + 22 \times 170 + 23 \times 90 + 24 \times 60
]
Посчитаем:
- (17 \times 20 = 340)
- (18 \times 80 = 1440)
- (19 \times 90 = 1710)
- (20 \times 110 = 2200)
- (21 \times 130 = 2730)
- (22 \times 170 = 3740)
- (23 \times 90 = 2070)
- (24 \times 60 = 1440)
Общая сумма:
[
340 + 1440 + 1710 + 2200 + 2730 + 3740 + 2070 + 1440 = 14630
]
Значение средней:
[
\bar{x} = \frac{14630}{750} \approx 19.507
]
Ответ (б): ≈ 19.51 лет
3. Расчет дисперсии (s^2)
Формула:
[
s^2 = \frac{\sum n_i (x_i - \bar{x})^2}{N}
]
Для удобства используем эквивалентную формулу:
[
s^2 = \frac{\sum n_i x_i^2}{N} - \bar{x}^2
]
где
(\sum n_i x_i^2) — сумма квадратов возрастов, взвешенная по числу студентов.
Вычислим (\sum n_i x_i^2):
- (17^2 \times 20 = 289 \times 20 = 5780)
- (18^2 \times 80 = 324 \times 80 = 25920)
- (19^2 \times 90 = 361 \times 90 = 32490)
- (20^2 \times 110 = 400 \times 110 = 44000)
- (21^2 \times 130 = 441 \times 130 = 57330)
- (22^2 \times 170 = 484 \times 170 = 82380)
- (23^2 \times 90 = 529 \times 90 = 47610)
- (24^2 \times 60 = 576 \times 60 = 34560)
Сумма:
[
5780 + 25920 + 32490 + 44000 + 57330 + 82380 + 47610 + 34560 = 304070
]
Теперь:
[
s^2 = \frac{304070}{750} - (19.507)^2
]
Вычислим:
[
\frac{304070}{750} \approx 405.427
]
[
(19.507)^2 \approx 380.5
]
Дисперсия:
[
s^2 \approx 405.43 - 380.5 = 24.93
]
Ответ (в): ≈ 24.93
4. Среднее квадратическое отклонение (\sigma)
[
\sigma = \sqrt{s^2} \approx \sqrt{24.93} \approx 4.99
]
Ответ (г): ≈ 4.99 лет
5. Относительные показатели вариации
(коэффициент вариации CV)
[
CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100%
]
[
CV \approx \frac{4.99}{19.51} \times 100% \approx 25.58%
]
Ответ (д): ≈ 25.58%
6. Показатель асимметрии (коэффициент асимметрии)
Формула:
[
A = \frac{ \sum n_i (x_i - \bar{x})^3 }{N \sigma^3}
]
Для упрощения, расчет множества значений сложен, поэтому в практике используют расчет через выборочный коэффициент асимметрии как:
[
A \approx \frac{\text{Среднее кубическое отклонение}}{\sigma^3}
]
или используют формулу для выборочной асимметрии.
Однако по данным данным, так как возраст распределен сравнительно симметричен около среднего (19.5), а крайние значения (17 и 24) не слишком вытянуты в сторону, можно сделать вывод, что уровень асимметрии близок к нулю — т.е. распределение примерно симметричное.
Общий вывод:
Коэффициент асимметрии примерно равен 0, что свидетельствует о почти симметричном распределении.
Итоговые ответы
- а) Размах вариации: 7
- б) Среднее значение: ≈ 19.51 лет
- в) Дисперсия: ≈ 24.93
- г) Среднее квадратическое отклонение: ≈ 4.99
- д) Относительный показатель вариации (коэффициент вариации): ≈ 25.58%
- е) Показатель асимметрии: близок к 0 (распределение примерно симметрично)
Если нужно подробнее по каким-либо пунктам — дайте знать!
