Давайте внимательно разберемся с задачей и подготовим пошаговое решение.
Задача:
Нужно посчитать количество последовательностей длины ( n ), состоящих из цифр от 0 до ( k-1 ), таких что в последовательности не встречаются две подряд идущие нулю.
Шаг 1: Понимание ограничения
- Общий набор цифр: от 0 до ( k-1 ).
- Длина последовательности: ( n ).
- Условие: недопустимы последовательности, где есть "00" — два нуля подряд.
Шаг 2: Анализ ситуации
Важно понять, что можно выбирать любой элемент на любом шаге, если он не нарушает условие.
Шаг 3: Построение рекуррентной формулы
Обозначим:
- ( a_n ) — количество допустимых последовательностей длины ( n ).
Рассмотрим возможные ситуации для формирования последовательности:
Последний элемент — не ноль:
- Тогда предыдущий элемент может быть как нулём, так и не нулём.
- Количество таких последовательностей:
( (k-1) \times a_{n-1} ), поскольку последний элемент — любой из ( k-1 ) цифр (от 1 до ( k-1 )).
Последний элемент — ноль:
- Тогда предшествующий элемент не может быть нулём, чтобы не было "00".
- Значит, предыдущий элемент — любой из ( k-1 ) цифр (0 и остальные, кроме нуля). Но так как последний — ноль, предшественник не должен быть нулём.
- Количество последовательностей в этом случае: ( a_{n-1}^{(не ноль)} ).
Обозначим:
- ( b_n ) — количество последовательностей длины ( n ), заканчивающихся не нулём.
- ( c_n ) — количество последовательностей длины ( n ), заканчивающихся нулём.
Тогда:
[
a_n = b_n + c_n
]
Выведем рекуррентные формулы:
- Последовательности, заканчивающиеся не нулём:
[
b_n = (k-1) \times a_{n-1}
]
- Последовательности, заканчивающиеся нулём:
[
c_n = b_{n-1}
]
(так как чтобы закончить нулём, предыдущий элемент должен быть не ноль).
Итого:
[
a_n = b_n + c_n = (k-1) \times a_{n-1} + b_{n-1}
]
Но зная, что:
[
b_{n-1} = (k-1) \times a_{n-2}
]
значит:
[
a_n = (k-1) \times a_{n-1} + (k-1) \times a_{n-2}
]
Шаг 4: Начальные условия
- Для ( n=1 ):
- ( a_1 ): возможны все цифры, то есть ( k ).
- ( c_1 ): последовательности, заканчивающиеся нулём — всего 1 (последовательность из одного нуля).
- ( b_1 = a_1 - c_1 = k - 1 ).
Итак:
[
a_1 = k \
b_1 = k - 1 \
c_1= 1
]
Поскольку:
[
a_1 = b_1 + c_1 = (k - 1) + 1 = k
]
что совпадает.
Шаг 5: Итерационный расчет
Используя полученные формулы:
[
a_n = (k-1) \times a_{n-1} + (k-1) \times a_{n-2}
]
с начальными условиями:
[
a_1 = k, \quad a_2 = (k-1) \times a_{1} + (k-1) \times a_{0}
]
Но что такое ( a_0 )?
- Для нулевой длины — есть одна "пустая" последовательность: ( a_0=1 ).
Итоговая формула:
[
a_0=1 \
a_1=k \
a_n = (k-1) \times (a_{n-1} + a_{n-2})
]
Итоговая программа на Python:
k = int(input()) # число вариантов цифр
n = int(input()) # длина последовательности
# Начальные условия
a_prev_prev = 1 # a_0
a_prev = k # a_1
for i in range(2, n + 1):
a_curr = (k - 1) * (a_prev + a_prev_prev)
a_prev_prev, a_prev = a_prev, a_curr
print(a_prev)
Итог:
Вывод программы — количество таких последовательностей, при условии, что:
- длина — ( n ),
- набор цифр — 0, 1, ..., ( k-1 ),
- и запрещены последовательности с двумя нулями подряд.
Если нужно, я могу помочь с разбором тестовых примеров или дополнительно объяснить шаги!
