Реши все задания

Конечно! Вот подробные решения указанных заданий:

---

Задание 6

Найти неопределённый интеграл: \(\int (2x) dx\)

Решение:

\[ \int 2x \, dx = 2 \int x \, dx = 2 \times \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C \]

Ответ: \(x^2 + C\)

---

Задание 7

Вычислить определённый интеграл: \(\int_2^3 (4x) dx\)

Решение:

1. Найдём первообразную для \(4x\):

\[ \int 4x \, dx = 2x^2 + C \]

2. Подставим границы интегрирования:

\[ \left[ 2x^2 \right]_2^3 = 2 \times 3^2 - 2 \times 2^2 = 2 \times 9 - 2 \times 4 = 18 - 8 = 10 \]

Ответ: 10

---

Задание 8

На рисунке изображён график функции \(y = f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\).

Найти значение производной \(f'(x_0)\):
Значение \(f'(x_0)\) — это тангенс угла наклона касательной или касательная оладьённая в точке \(x_0\).

На основании рисунка (к сожалению, я не могу просмотреть изображение), обычно в таких задачах значение \(f'(x_0)\) определяется по наклону касательной или по значению в точке \(x_0\).

---

Задание 9

Составить уравнение касательной к функции \(y = 3x - 6x^2\) в точке касания \(x_0 = -1\).

Шаги:

1. Вычисляем значение функции в точке \(x_0 = -1\):

\[ f(-1) = 3 \times (-1) - 6 \times (-1)^2 = -3 - 6 = -9 \]

2. Находим производную функции:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (3x - 6x^2) = 3 - 12x \]

3. Вычисляем \(f'(-1)\):

\[ f'(-1) = 3 - 12 \times (-1) = 3 + 12 = 15 \]

4. Уравнение касательной по формуле:

\[ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \]

Подставляем:

\[ y = -9 + 15 (x + 1) \]

Раскрываем скобки:

\[ y = -9 + 15x + 15 = 15x + 6 \]

Ответ: уравнение касательной: \(\boxed{y = 15x + 6}\)

---

Задание 10

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: \(f(x) = x^2\) и \(f(x) = 2 - x\).

Шаги:

1. Находим точки пересечения функций:

\[ x^2 = 2 - x \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0 \]

Решим уравнение:

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]

Точки пересечения:

\[ x = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \quad x = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \]

2. Область ограничена по оси \(x\) интервалом от \(-2\) до \(1\).

3. Для вычисления площади:

\[ S = \int_{-2}^{1} \left[(2 - x) - x^2 \right] dx \]

Расписываем интеграл:

\[ S = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) dx \]

4. Находим первообразную:

\[ \int (2 - x - x^2) dx = 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C \]

5. Подставляем границы:

\[ S = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1} \]

• Для \(x=1\):

\[ 2 \times 1 - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 2 - 0.5 - 0.333... = 1.166... \]

• Для \(x=-2\):

\[ 2 \times (-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} = -4 - \frac{4}{2} - \frac{-8}{3} = -4 - 2 + \frac{8}{3} = -6 + 2.666... = -3.333... \]

6. Вычисляем площадь:

\[ S = 1.166... - (-3.333...) = 1.166... + 3.333... = 4.5 \]

Ответ: площадь фигуры равна \(\boxed{4.5}\)

---

Задание 11

Исследовать функцию \(f(x) = 3x^2 - x^3\) и построить её график.

Для этого:

1. Найти критические точки (нахождение производной и решение \(f'(x) = 0\)):

\[ f'(x) = 6x - 3x^2 = 3x (2 - x) \]

Критические точки при \(f'(x) = 0\):

\[ 3x (2 - x) = 0 \Rightarrow x=0, \quad x=2 \]

2. Исследовать знак производной:

• Для \(x < 0\): \(f'(x) < 0\), функция убывает.
• Для \(0 < x < 2\): \(f'(x) > 0\), функция возрастает.
• Для \(x > 2\): \(f'(x) < 0\), функция убывает.

3. Определить экстремумы:

• В точке \(x=0\): минимум.
• В точке \(x=2\): максимум.

4. Построение графика — по этим точкам и признакам.

---

Если нужны еще какие-то пояснения по решению или помощь с построением графика, скажи!