Реши все задания

Конечно! Вот подробные решения указанных заданий: --- ### Задание 6 Найти неопределённый интеграл: \(\int (2x) dx\) **Решение:** \[ \int 2x \, dx = 2 \int x \, dx = 2 \times \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C \] **Ответ:** \(x^2 + C\) --- ### Задание 7 Вычислить определённый интеграл: \(\int_2^3 (4x) dx\) **Решение:** 1. Найдём первообразную для \(4x\): \[ \int 4x \, dx = 2x^2 + C \] 2. Подставим границы интегрирования: \[ \left[ 2x^2 \right]_2^3 = 2 \times 3^2 - 2 \times 2^2 = 2 \times 9 - 2 \times 4 = 18 - 8 = 10 \] **Ответ:** 10 --- ### Задание 8 На рисунке изображён график функции \(y = f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\). **Найти значение производной \(f'(x_0)\):** Значение \(f'(x_0)\) — это тангенс угла наклона касательной или касательная оладьённая в точке \(x_0\). На основании рисунка (к сожалению, я не могу просмотреть изображение), обычно в таких задачах значение \(f'(x_0)\) определяется по наклону касательной или по значению в точке \(x_0\). --- ### Задание 9 Составить уравнение касательной к функции \(y = 3x - 6x^2\) в точке касания \(x_0 = -1\). **Шаги:** 1. Вычисляем значение функции в точке \(x_0 = -1\): \[ f(-1) = 3 \times (-1) - 6 \times (-1)^2 = -3 - 6 = -9 \] 2. Находим производную функции: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (3x - 6x^2) = 3 - 12x \] 3. Вычисляем \(f'(-1)\): \[ f'(-1) = 3 - 12 \times (-1) = 3 + 12 = 15 \] 4. Уравнение касательной по формуле: \[ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \] Подставляем: \[ y = -9 + 15 (x + 1) \] Раскрываем скобки: \[ y = -9 + 15x + 15 = 15x + 6 \] **Ответ:** уравнение касательной: \(\boxed{y = 15x + 6}\) --- ### Задание 10 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: \(f(x) = x^2\) и \(f(x) = 2 - x\). **Шаги:** 1. Находим точки пересечения функций: \[ x^2 = 2 - x \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0 \] Решим уравнение: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Точки пересечения: \[ x = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \quad x = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \] 2. Область ограничена по оси \(x\) интервалом от \(-2\) до \(1\). 3. Для вычисления площади: \[ S = \int_{-2}^{1} \left[(2 - x) - x^2 \right] dx \] Расписываем интеграл: \[ S = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) dx \] 4. Находим первообразную: \[ \int (2 - x - x^2) dx = 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C \] 5. Подставляем границы: \[ S = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1} \] - Для \(x=1\): \[ 2 \times 1 - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 2 - 0.5 - 0.333... = 1.166... \] - Для \(x=-2\): \[ 2 \times (-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} = -4 - \frac{4}{2} - \frac{-8}{3} = -4 - 2 + \frac{8}{3} = -6 + 2.666... = -3.333... \] 6. Вычисляем площадь: \[ S = 1.166... - (-3.333...) = 1.166... + 3.333... = 4.5 \] **Ответ:** площадь фигуры равна \(\boxed{4.5}\) --- ### Задание 11 Исследовать функцию \(f(x) = 3x^2 - x^3\) и построить её график. **Для этого:** 1. Найти критические точки (нахождение производной и решение \(f'(x) = 0\)): \[ f'(x) = 6x - 3x^2 = 3x (2 - x) \] Критические точки при \(f'(x) = 0\): \[ 3x (2 - x) = 0 \Rightarrow x=0, \quad x=2 \] 2. Исследовать знак производной: - Для \(x < 0\): \(f'(x) < 0\), функция убывает. - Для \(0 < x < 2\): \(f'(x) > 0\), функция возрастает. - Для \(x > 2\): \(f'(x) < 0\), функция убывает. 3. Определить экстремумы: - В точке \(x=0\): минимум. - В точке \(x=2\): максимум. 4. Построение графика — по этим точкам и признакам. --- Если нужны еще какие-то пояснения по решению или помощь с построением графика, скажи!