Степени и корни. Степенная функция

Конечно, давайте решим каждый пример подробно, объясняя все шаги. --- ### а) \( 2^{\sqrt{3} - 7} \cdot 2^{6 - \sqrt{3}} \) **Шаг 1:** Используем свойство степеней: \(\.a^m \cdot a^n = a^{m + n}\). **Шаг 2:** Складываем показатели: \[ (\sqrt{3} - 7) + (6 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 7 + 6 - \sqrt{3} = ( \sqrt{3} - \sqrt{3} ) + (-7 + 6) = 0 - 1 = -1 \] **Результат:** \[ 2^{\sqrt{3} - 7} \cdot 2^{6 - \sqrt{3}} = 2^{-1} = \frac{1}{2} \] --- ### б) \( 3^{-\sqrt{2} - 2} \cdot 3^{7 + \sqrt{2}} \) **Шаг 1:** Используем свойство степеней: \[ a^m \cdot a^n = a^{m + n} \] **Шаг 2:** Складываем показатели: \[ (-\sqrt{2} - 2) + (7 + \sqrt{2}) = -\sqrt{2} - 2 + 7 + \sqrt{2} = (- \sqrt{2} + \sqrt{2}) + (7 - 2) = 0 + 5 = 5 \] **Результат:** \[ 3^{5} = 243 \] --- ### в) \( 4^{\sqrt{7} + 2} \div 4^{\sqrt{7} - 2} \) **Шаг 1:** Используем свойство деления степеней: \[ a^m \div a^n = a^{m - n} \] **Шаг 2:** Вычитаем показатели: \[ (\sqrt{7} + 2) - (\sqrt{7} - 2) = \sqrt{7} + 2 - \sqrt{7} + 2 = 0 + 4 = 4 \] **Результат:** \[ 4^{4} = 256 \] --- ### г) \(\frac{5^{6} \cdot 5^{5}}{5^{10}}\) **Шаг 1:** Свойство умножения степеней: \[ a^m \cdot a^n = a^{m + n} \] **Шаг 2:** Объединяем числитель: \[ 5^{6 + 5} = 5^{11} \] **Шаг 3:** Теперь делим: \[ \frac{5^{11}}{5^{10}} = 5^{11 - 10} = 5^{1} = 5 \] --- ### д) \(\frac{6^{3} \cdot 6^{-6}}{6^{-5}}\) **Шаг 1:** В числителе используем свойство умножения степеней: \[ 6^{3} \cdot 6^{-6} = 6^{3 + (-6)} = 6^{-3} \] **Шаг 2:** Теперь делим на \(6^{-5}\): \[ \frac{6^{-3}}{6^{-5}} = 6^{-3 - (-5)} = 6^{-3 + 5} = 6^{2} \] **Результат:** \[ 6^{2} = 36 \] --- ### е) \(\frac{7^{-3} \cdot 7^{9}}{7^{4}}\) **Шаг 1:** В числителе: \[ 7^{-3} \cdot 7^{9} = 7^{-3 + 9} = 7^{6} \] **Шаг 2:** Делим на \(7^{4}\): \[ \frac{7^{6}}{7^{4}} = 7^{6 - 4} = 7^{2} \] **Результат:** \[ 7^{2} = 49 \] --- ### ж) \(\frac{8^{9}}{64^{3}}\) **Шаг 1:** Обозначим \(64\) как степень числа 8: \[ 64 = 8^{2} \] **Шаг 2:** Перепишем: \[ \frac{8^{9}}{(8^{2})^{3}} = \frac{8^{9}}{8^{2 \cdot 3}} = \frac{8^{9}}{8^{6}} \] **Шаг 3:** Используем свойство деления степеней: \[ 8^{9 - 6} = 8^{3} \] **Результат:** \[ 8^{3} = 512 \] --- ### з) \(\frac{9^{-6} \cdot 9^{4}}{9^{-3}}\) **Шаг 1:** В числителе: \[ 9^{-6} \cdot 9^{4} = 9^{-6 + 4} = 9^{-2} \] **Шаг 2:** Делим на \(9^{-3}\): \[ \frac{9^{-2}}{9^{-3}} = 9^{-2 - (-3)} = 9^{-2 + 3} = 9^{1} = 9 \] --- Если нужны дополнительные объяснения или есть другие задания — обращайтесь!