Степени и корни. Степенная функция
Конечно, давайте решим каждый пример подробно, объясняя все шаги.
а) \( 2^{\sqrt{3} - 7} \cdot 2^{6 - \sqrt{3}} \)
Шаг 1: Используем свойство степеней:
\(\.a^m \cdot a^n = a^{m + n}\).
Шаг 2: Складываем показатели:
\[
(\sqrt{3} - 7) + (6 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 7 + 6 - \sqrt{3} = ( \sqrt{3} - \sqrt{3} ) + (-7 + 6) = 0 - 1 = -1
\]
Результат:
\[
2^{\sqrt{3} - 7} \cdot 2^{6 - \sqrt{3}} = 2^{-1} = \frac{1}{2}
\]
б) \( 3^{-\sqrt{2} - 2} \cdot 3^{7 + \sqrt{2}} \)
Шаг 1: Используем свойство степеней:
\[
a^m \cdot a^n = a^{m + n}
\]
Шаг 2: Складываем показатели:
\[
(-\sqrt{2} - 2) + (7 + \sqrt{2}) = -\sqrt{2} - 2 + 7 + \sqrt{2} = (- \sqrt{2} + \sqrt{2}) + (7 - 2) = 0 + 5 = 5
\]
Результат:
\[
3^{5} = 243
\]
в) \( 4^{\sqrt{7} + 2} \div 4^{\sqrt{7} - 2} \)
Шаг 1: Используем свойство деления степеней:
\[
a^m \div a^n = a^{m - n}
\]
Шаг 2: Вычитаем показатели:
\[
(\sqrt{7} + 2) - (\sqrt{7} - 2) = \sqrt{7} + 2 - \sqrt{7} + 2 = 0 + 4 = 4
\]
Результат:
\[
4^{4} = 256
\]
г) \(\frac{5^{6} \cdot 5^{5}}{5^{10}}\)
Шаг 1: Свойство умножения степеней:
\[
a^m \cdot a^n = a^{m + n}
\]
Шаг 2: Объединяем числитель:
\[
5^{6 + 5} = 5^{11}
\]
Шаг 3: Теперь делим:
\[
\frac{5^{11}}{5^{10}} = 5^{11 - 10} = 5^{1} = 5
\]
д) \(\frac{6^{3} \cdot 6^{-6}}{6^{-5}}\)
Шаг 1: В числителе используем свойство умножения степеней:
\[
6^{3} \cdot 6^{-6} = 6^{3 + (-6)} = 6^{-3}
\]
Шаг 2: Теперь делим на \(6^{-5}\):
\[
\frac{6^{-3}}{6^{-5}} = 6^{-3 - (-5)} = 6^{-3 + 5} = 6^{2}
\]
Результат:
\[
6^{2} = 36
\]
е) \(\frac{7^{-3} \cdot 7^{9}}{7^{4}}\)
Шаг 1: В числителе:
\[
7^{-3} \cdot 7^{9} = 7^{-3 + 9} = 7^{6}
\]
Шаг 2: Делим на \(7^{4}\):
\[
\frac{7^{6}}{7^{4}} = 7^{6 - 4} = 7^{2}
\]
Результат:
\[
7^{2} = 49
\]
ж) \(\frac{8^{9}}{64^{3}}\)
Шаг 1: Обозначим \(64\) как степень числа 8:
\[
64 = 8^{2}
\]
Шаг 2: Перепишем:
\[
\frac{8^{9}}{(8^{2})^{3}} = \frac{8^{9}}{8^{2 \cdot 3}} = \frac{8^{9}}{8^{6}}
\]
Шаг 3: Используем свойство деления степеней:
\[
8^{9 - 6} = 8^{3}
\]
Результат:
\[
8^{3} = 512
\]
з) \(\frac{9^{-6} \cdot 9^{4}}{9^{-3}}\)
Шаг 1: В числителе:
\[
9^{-6} \cdot 9^{4} = 9^{-6 + 4} = 9^{-2}
\]
Шаг 2: Делим на \(9^{-3}\):
\[
\frac{9^{-2}}{9^{-3}} = 9^{-2 - (-3)} = 9^{-2 + 3} = 9^{1} = 9
\]
Если нужны дополнительные объяснения или есть другие задания — обращайтесь!
