4х^3+12х^2=х+3

Давайте решим уравнение: \[ 4x^3 + 12x^2 = x + 3 \] **Шаг 1. Перенесем все в левую часть уравнения, чтобы получить равенство нулю:** \[ 4x^3 + 12x^2 - x - 3 = 0 \] **Шаг 2. Попытка факторизации** Образец многочлена — это кубический многочлен. Постараемся воспользоваться методом группировки или поиск рациональных корней по теореме Виета. **Шаг 3. Поиск рациональных корней** Правило рациональных корней говорит, что возможные рациональные корни — делители свободного члена (-3) и ведущего коэффициента (4). Делители -3: \(\pm1, \pm3\) Делители 4: \(\pm1, \pm2, \pm4\) Возможные рациональные корни — деления \(\pm\) от: \(\pm1, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{4}, \pm3, \pm\frac{3}{2}, \pm\frac{3}{4}\) Проверим каждое подставляя в уравнение. **Шаг 4. Подставим возможные корни** Проверим \(x=1\): \[ 4(1)^3 + 12(1)^2 - 1 - 3 = 4 + 12 - 1 - 3 = 12 \neq 0 \] Проверим \(x=-1\): \[ 4(-1)^3 + 12(-1)^2 - (-1) - 3 = -4 + 12 + 1 - 3 = 6 \neq 0 \] Проверим \(x=3\): \[ 4(3)^3 + 12(3)^2 - 3 - 3 = 4*27 + 12*9 - 3 - 3 = 108 + 108 - 6 = 210 \neq 0 \] Проверим \(x=-3\): \[ 4(-3)^3 + 12(-3)^2 - (-3) - 3 = 4*(-27) + 12*9 + 3 -3 = -108 + 108 + 0 = 0 \] **Результат:** \(x=-3\) — корень уравнения. **Шаг 5. Выполняем деление многочлена на \((x + 3)\)** Используем деление многочлена \(4x^3 + 12x^2 - x - 3\) на \((x + 3)\): Деление делом с остатком или схема Горнера. Параметры: Делим \(4x^3 + 12x^2 - x - 3\) на \((x + 3)\). Упростим деление по схеме Горнера: - Запишем коэффициенты: 4, 12, -1, -3 - Делим, используя степень, с коэффициентами. Процесс: 1. Записываем коэффициенты: 4 | 12 | -1 | -3 2. Начинаем деление: - Первый коэффициент: 4 — пишем его вниз. - Умножаем 4 на -3 (коэффициент делителя, -3): \(-12\), добавляем к следующему: \(12 + (-12) = 0\). - Умножаем 0 на -3: 0, прибавляем к -1: \(-1 + 0 = -1\). - Умножаем -1 на -3: 3, добавляем к -3: \(-3+3=0\). Получаем остаток 0, что подтверждает, что деление без остатка. Коэффициенты квадратичного многочлена: **4**, **0**, **-1** Значит, \[ 4x^3 + 12x^2 - x - 3 = (x + 3)(4x^2 + 0x - 1) = (x+3)(4x^2 - 1) \] **Шаг 6. Решение квадратного уравнения** Остается решить: \[ 4x^2 - 1 = 0 \] Это — разложимый на разность квадратов: \[ 4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1) = 0 \] Отсюда: \[ 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \] или \[ 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \] **Итог:** Корни уравнения: \[ x = -3, \quad x = \frac{1}{2}, \quad x = -\frac{1}{2} \] --- Если нужно, я могу оформить решение более подробно или помочь с каким-то другим аспектом.