4х^3+12х^2=х+3
Давайте решим уравнение:
\[ 4x^3 + 12x^2 = x + 3 \]
Шаг 1. Перенесем все в левую часть уравнения, чтобы получить равенство нулю:
\[ 4x^3 + 12x^2 - x - 3 = 0 \]
Шаг 2. Попытка факторизации
Образец многочлена — это кубический многочлен. Постараемся воспользоваться методом группировки или поиск рациональных корней по теореме Виета.
Шаг 3. Поиск рациональных корней
Правило рациональных корней говорит, что возможные рациональные корни — делители свободного члена (-3) и ведущего коэффициента (4).
Делители -3: \(\pm1, \pm3\)
Делители 4: \(\pm1, \pm2, \pm4\)
Возможные рациональные корни — деления \(\pm\) от:
\(\pm1, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{4}, \pm3, \pm\frac{3}{2}, \pm\frac{3}{4}\)
Проверим каждое подставляя в уравнение.
Шаг 4. Подставим возможные корни
Проверим \(x=1\):
\[ 4(1)^3 + 12(1)^2 - 1 - 3 = 4 + 12 - 1 - 3 = 12 \neq 0 \]
Проверим \(x=-1\):
\[ 4(-1)^3 + 12(-1)^2 - (-1) - 3 = -4 + 12 + 1 - 3 = 6 \neq 0 \]
Проверим \(x=3\):
\[ 4(3)^3 + 12(3)^2 - 3 - 3 = 4*27 + 12*9 - 3 - 3 = 108 + 108 - 6 = 210 \neq 0 \]
Проверим \(x=-3\):
\[ 4(-3)^3 + 12(-3)^2 - (-3) - 3 = 4*(-27) + 12*9 + 3 -3 = -108 + 108 + 0 = 0 \]
Результат: \(x=-3\) — корень уравнения.
Шаг 5. Выполняем деление многочлена на \((x + 3)\)
Используем деление многочлена \(4x^3 + 12x^2 - x - 3\) на \((x + 3)\):
Деление делом с остатком или схема Горнера.
Параметры:
Делим \(4x^3 + 12x^2 - x - 3\) на \((x + 3)\).
Упростим деление по схеме Горнера:
- Запишем коэффициенты: 4, 12, -1, -3
- Делим, используя степень, с коэффициентами.
Процесс:
Записываем коэффициенты: 4 | 12 | -1 | -3
Начинаем деление:
- Первый коэффициент: 4 — пишем его вниз.
- Умножаем 4 на -3 (коэффициент делителя, -3): \(-12\), добавляем к следующему: \(12 + (-12) = 0\).
- Умножаем 0 на -3: 0, прибавляем к -1: \(-1 + 0 = -1\).
- Умножаем -1 на -3: 3, добавляем к -3: \(-3+3=0\).
Получаем остаток 0, что подтверждает, что деление без остатка.
Коэффициенты квадратичного многочлена: 4, 0, -1
Значит,
\[ 4x^3 + 12x^2 - x - 3 = (x + 3)(4x^2 + 0x - 1) = (x+3)(4x^2 - 1) \]
Шаг 6. Решение квадратного уравнения
Остается решить:
\[ 4x^2 - 1 = 0 \]
Это — разложимый на разность квадратов:
\[ 4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1) = 0 \]
Отсюда:
\[ 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \]
или
\[ 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \]
Итог:
Корни уравнения:
\[ x = -3, \quad x = \frac{1}{2}, \quad x = -\frac{1}{2} \]
Если нужно, я могу оформить решение более подробно или помочь с каким-то другим аспектом.
