Из 10 проводов под напряжением находятся 9. Электрик произвольно выбирает 5 проводов. Какова вероятность того, что все они под напряжением?
Давайте разберём задачу подробно.
Задача:
Из 10 проводов, из которых 9 находятся под напряжением, электрик выбирает случайно 5 проводов. Нужно определить вероятность того, что все выбранные провода будут под напряжением.
Шаг 1: Определим числа
- Общее число проводов: 10
- Количество проводов под напряжением: 9
- Количество выбираемых проводов: 5
Шаг 2: Что ищем?
Вероятность того, что все выбранные 5 проводов окажутся именно из тех 9, которые под напряжением.
Это — классическая задача на вероятность, связанная с комбинаторикой.
Шаг 3: Посчитаем общее число способов выбрать 5 проводов из 10
Общее число способов выбрать любые 5 проводов из 10 — это сочетания:
\[ C_{10}^{5} = \frac{10!}{5! \times (10 - 5)!} = \frac{10!}{5! \times 5!} \]
вычислим:
\[ C_{10}^{5} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252 \]
Шаг 4: Посчитаем число способов выбрать 5 проводов всего под напряжением из 9
Чтобы все выбранные провода оказались под напряжением, выбираем все 5 из 9:
\[ C_{9}^{5} = \frac{9!}{5! \times 4!} \]
Вычислим:
\[ C_{9}^{5} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126 \]
Шаг 5: Найдём вероятность
Область благоприятных исходов — это все способы выбрать 5 проводов из 9 под напряжением, а всего возможных — все способы выбрать 5 из 10.
Тогда вероятность:
\[ P = \frac{\text{число благоприятных случаев}}{\text{общее число случаев}} = \frac{C_{9}^{5}}{C_{10}^{5}} = \frac{126}{252} = \frac{1}{2} \]
Ответ:
Вероятность того, что все выбранные 5 проводов окажутся под напряжением, равна \(\boxed{\dfrac{1}{2}}\).
