Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью которого меняется от 10^-9 до 40 Пф, и катушки индуктивностью 2мГн.на какие длины волн рассчитан контур. решение и ответ
Давайте решим задачу по шагам, чтобы определить диапазон длины волн, на которые рассчитан колебательный контур.
Дано:
- Емкость конденсатора \( C \) меняется от \( 10^{-9} \) Ф (1 нФ) до \( 40 \times 10^{-12} \) Ф (40 пФ).
- Индуктивность \( L = 2\, \text{мГн} = 2 \times 10^{-3} \text{Гн} \).
Шаг 1: Формула резонансной частоты
Контура — колебательного, резонансная частота \( f \) определяется формулой:
\[ f = \frac{1}{2\pi \sqrt{L C}} \]
Где:
- \( L \) — индуктивность,
- \( C \) — емкость.
Шаг 2: Вычисление диапазона частот
Для минимальной емкости \( C_{\text{min}} = 10^{-9}\) Ф:
\[ f_{\text{max}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{L C_{\text{min}}}} \]
Для максимальной емкости \( C_{\text{max}} = 40 \times 10^{-12}\) Ф:
\[ f_{\text{min}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{L C_{\text{max}}}} \]
Шаг 3: Численные вычисления
1. Для \( C_{\text{min}} = 10^{-9} \) Ф:
\[ f_{\text{max}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{2 \times 10^{-3} \times 10^{-9}}} \]
Вычисляем под корнем:
\[ 2 \times 10^{-3} \times 10^{-9} = 2 \times 10^{-12} \]
Корень:
\[ \sqrt{2 \times 10^{-12}} = \sqrt{2} \times 10^{-6} \approx 1.4142 \times 10^{-6} \]
Следовательно, частота:
\[ f_{\text{max}} \approx \frac{1}{2\pi \times 1.4142 \times 10^{-6}} \approx \frac{1}{8.885 \times 10^{-6}} \approx 112,5\, \text{kГц} \]
2. Для \( C_{\text{max}} = 40 \times 10^{-12} \) Ф:
\[ f_{\text{min}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{2 \times 10^{-3} \times 40 \times 10^{-12}}} \]
Под корнем:
\[ 2 \times 10^{-3} \times 40 \times 10^{-12} = 80 \times 10^{-15} = 8 \times 10^{-14} \]
Корень:
\[ \sqrt{8 \times 10^{-14}} = \sqrt{8} \times 10^{-7} \approx 2.828 \times 10^{-7} \]
Частота:
\[ f_{\text{min}} \approx \frac{1}{2\pi \times 2.828 \times 10^{-7}} \approx \frac{1}{1.776 \times 10^{-6}} \approx 563,5\, \text{kГц} \]
Ответ:
Длина волн, соответствующая этим частотам, рассчитывается по формуле:
\[ \lambda = \frac{c}{f} \]
где \( c \) — скорость света (~ \(3 \times 10^{8}\) м/с).
Шаг 4: Расчёт длин волн
- Для \( f_{\text{max}} \approx 112,5\, \text{kГц} = 112,5 \times 10^{3}\) Гц:
\[ \lambda_{\text{минимальная}} = \frac{3 \times 10^{8}}{112.5 \times 10^{3}} \approx 2667\, \text{м} \]
- Для \( f_{\text{min}} \approx 563,5\, \text{kГц} \):
\[ \lambda_{\text{максимальная}} = \frac{3 \times 10^{8}}{563.5 \times 10^{3}} \approx 532\, \text{м} \]
Итог:
- Длина волны при минимальной емкости (самая высокая частота): около 2,7 км.
- Длина волны при максимальной емкости (самая низкая частота): около 530 м.
Если нужно, могу дополнительно объяснить, как получены эти формулы или помочь с другими вопросами!
