Какое ОДЗ

Конечно! Давайте разберем задачу по шагам. Задача: Определить объединение областей допустимых значений (ОДЗ) для уравнения \[ \sqrt{x^2 - 3x - 4} = x - 2 \] ### Шаг 1. Определить условия для корней и выражения под корнем Для того чтобы выражение было определено, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ x^2 - 3x - 4 \geq 0 \] Также выражение справа — \(x - 2\) — должно подходить по условию равносильности: при этом, поскольку слева — это корень, он всегда неотрицателен, а справа может быть и отрицательным. Тогда, чтобы уравнение было решимо, необходимо обеспечить, что правая часть неотрицательна: \[ x - 2 \geq 0 \implies x \geq 2 \] Но стоит проверить также, что при решении уравнения не возникает противоречий. --- ### Шаг 2. Решить неравенство квадратичного выражения Рассмотрим неравенство: \[ x^2 - 3x - 4 \geq 0 \] Найдем корни уравнения: \[ x^2 - 3x - 4 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \] Корни: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \] Получаем два корня: \[ x = \frac{3 + 5}{2} = 4 \] \[ x = \frac{3 - 5}{2} = -1 \] Поскольку квадратное выражение открыто вверх, то неравенство: \[ x^2 - 3x - 4 \geq 0 \] выполняется при: \[ x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 4 \] --- ### Шаг 3. Объединение условий - Для корня под радикалом: \(x \leq -1\) или \(x \geq 4\) - Для правой части: \(x \geq 2\) Объединить оба условия: \[ x \geq 2 \] и \[ x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 4 \] Но так как \(x \geq 2\), то: - \(x \leq -1\) несовместно с \(x \geq 2\), не учитываем. - Остается только \(x \geq 4\). Итак, разрешенная область — это часть интервала \(x \geq 4\). --- ### Шаг 4. Решить уравнение Теперь решим исходное уравнение: \[ \sqrt{x^2 - 3x - 4} = x - 2 \] На области \(x \geq 4\). Поскольку слева — это корень, он неотрицателен, а слева — корень. Тогда: \[ \sqrt{x^2 - 3x - 4} = x - 2 \geq 0 \] На области \(x \geq 4\), выражение \(x - 2 \geq 2\), так что это условие выполнено. Поднимем обе части на квадрат: \[ x^2 - 3x - 4 = (x - 2)^2 \] Раскроем скобки справа: \[ x^2 - 3x - 4 = x^2 - 4x + 4 \] Вычитая \(x^2\) из обеих сторон, получим: \[ -3x - 4 = -4x + 4 \] Переносим все в одну сторону: \[ -3x - 4 + 4x - 4 = 0 \] Объединяем: \[ x - 8 = 0 \] Отсюда: \[ x = 8 \] Поскольку \(x \geq 4\), то \(x=8\) подходит. --- ### **Ответ:** Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения — **\(x \geq 4\)**, а решением является **\(x=8\)**. --- Если нужно, могу дополнительно проверить подставкой.