Какое ОДЗ
Конечно! Давайте разберем задачу по шагам.
Задача:
Определить объединение областей допустимых значений (ОДЗ) для уравнения
\[ \sqrt{x^2 - 3x - 4} = x - 2 \]
Шаг 1. Определить условия для корней и выражения под корнем
Для того чтобы выражение было определено, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[ x^2 - 3x - 4 \geq 0 \]
Также выражение справа — \(x - 2\) — должно подходить по условию равносильности: при этом, поскольку слева — это корень, он всегда неотрицателен, а справа может быть и отрицательным. Тогда, чтобы уравнение было решимо, необходимо обеспечить, что правая часть неотрицательна:
\[ x - 2 \geq 0 \implies x \geq 2 \]
Но стоит проверить также, что при решении уравнения не возникает противоречий.
Шаг 2. Решить неравенство квадратичного выражения
Рассмотрим неравенство:
\[ x^2 - 3x - 4 \geq 0 \]
Найдем корни уравнения:
\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]
Используем дискриминант:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]
Корни:
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \]
Получаем два корня:
\[ x = \frac{3 + 5}{2} = 4 \] \[ x = \frac{3 - 5}{2} = -1 \]
Поскольку квадратное выражение открыто вверх, то неравенство:
\[ x^2 - 3x - 4 \geq 0 \] выполняется при:
\[ x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 4 \]
Шаг 3. Объединение условий
- Для корня под радикалом: \(x \leq -1\) или \(x \geq 4\)
- Для правой части: \(x \geq 2\)
Объединить оба условия:
\[ x \geq 2 \] и \[ x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 4 \]
Но так как \(x \geq 2\), то:
- \(x \leq -1\) несовместно с \(x \geq 2\), не учитываем.
- Остается только \(x \geq 4\).
Итак, разрешенная область — это часть интервала \(x \geq 4\).
Шаг 4. Решить уравнение
Теперь решим исходное уравнение:
\[ \sqrt{x^2 - 3x - 4} = x - 2 \]
На области \(x \geq 4\).
Поскольку слева — это корень, он неотрицателен, а слева — корень. Тогда:
\[ \sqrt{x^2 - 3x - 4} = x - 2 \geq 0 \]
На области \(x \geq 4\), выражение \(x - 2 \geq 2\), так что это условие выполнено.
Поднимем обе части на квадрат:
\[ x^2 - 3x - 4 = (x - 2)^2 \]
Раскроем скобки справа:
\[ x^2 - 3x - 4 = x^2 - 4x + 4 \]
Вычитая \(x^2\) из обеих сторон, получим:
\[ -3x - 4 = -4x + 4 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ -3x - 4 + 4x - 4 = 0 \]
Объединяем:
\[ x - 8 = 0 \]
Отсюда:
\[ x = 8 \]
Поскольку \(x \geq 4\), то \(x=8\) подходит.
Ответ:
Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения — \(x \geq 4\), а решением является \(x=8\).
Если нужно, могу дополнительно проверить подставкой.
